-0,000 282 003 94 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 003 94(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 003 94(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 003 94| = 0,000 282 003 94


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 003 94.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 003 94 × 2 = 0 + 0,000 564 007 88;
  • 2) 0,000 564 007 88 × 2 = 0 + 0,001 128 015 76;
  • 3) 0,001 128 015 76 × 2 = 0 + 0,002 256 031 52;
  • 4) 0,002 256 031 52 × 2 = 0 + 0,004 512 063 04;
  • 5) 0,004 512 063 04 × 2 = 0 + 0,009 024 126 08;
  • 6) 0,009 024 126 08 × 2 = 0 + 0,018 048 252 16;
  • 7) 0,018 048 252 16 × 2 = 0 + 0,036 096 504 32;
  • 8) 0,036 096 504 32 × 2 = 0 + 0,072 193 008 64;
  • 9) 0,072 193 008 64 × 2 = 0 + 0,144 386 017 28;
  • 10) 0,144 386 017 28 × 2 = 0 + 0,288 772 034 56;
  • 11) 0,288 772 034 56 × 2 = 0 + 0,577 544 069 12;
  • 12) 0,577 544 069 12 × 2 = 1 + 0,155 088 138 24;
  • 13) 0,155 088 138 24 × 2 = 0 + 0,310 176 276 48;
  • 14) 0,310 176 276 48 × 2 = 0 + 0,620 352 552 96;
  • 15) 0,620 352 552 96 × 2 = 1 + 0,240 705 105 92;
  • 16) 0,240 705 105 92 × 2 = 0 + 0,481 410 211 84;
  • 17) 0,481 410 211 84 × 2 = 0 + 0,962 820 423 68;
  • 18) 0,962 820 423 68 × 2 = 1 + 0,925 640 847 36;
  • 19) 0,925 640 847 36 × 2 = 1 + 0,851 281 694 72;
  • 20) 0,851 281 694 72 × 2 = 1 + 0,702 563 389 44;
  • 21) 0,702 563 389 44 × 2 = 1 + 0,405 126 778 88;
  • 22) 0,405 126 778 88 × 2 = 0 + 0,810 253 557 76;
  • 23) 0,810 253 557 76 × 2 = 1 + 0,620 507 115 52;
  • 24) 0,620 507 115 52 × 2 = 1 + 0,241 014 231 04;
  • 25) 0,241 014 231 04 × 2 = 0 + 0,482 028 462 08;
  • 26) 0,482 028 462 08 × 2 = 0 + 0,964 056 924 16;
  • 27) 0,964 056 924 16 × 2 = 1 + 0,928 113 848 32;
  • 28) 0,928 113 848 32 × 2 = 1 + 0,856 227 696 64;
  • 29) 0,856 227 696 64 × 2 = 1 + 0,712 455 393 28;
  • 30) 0,712 455 393 28 × 2 = 1 + 0,424 910 786 56;
  • 31) 0,424 910 786 56 × 2 = 0 + 0,849 821 573 12;
  • 32) 0,849 821 573 12 × 2 = 1 + 0,699 643 146 24;
  • 33) 0,699 643 146 24 × 2 = 1 + 0,399 286 292 48;
  • 34) 0,399 286 292 48 × 2 = 0 + 0,798 572 584 96;
  • 35) 0,798 572 584 96 × 2 = 1 + 0,597 145 169 92;
  • 36) 0,597 145 169 92 × 2 = 1 + 0,194 290 339 84;
  • 37) 0,194 290 339 84 × 2 = 0 + 0,388 580 679 68;
  • 38) 0,388 580 679 68 × 2 = 0 + 0,777 161 359 36;
  • 39) 0,777 161 359 36 × 2 = 1 + 0,554 322 718 72;
  • 40) 0,554 322 718 72 × 2 = 1 + 0,108 645 437 44;
  • 41) 0,108 645 437 44 × 2 = 0 + 0,217 290 874 88;
  • 42) 0,217 290 874 88 × 2 = 0 + 0,434 581 749 76;
  • 43) 0,434 581 749 76 × 2 = 0 + 0,869 163 499 52;
  • 44) 0,869 163 499 52 × 2 = 1 + 0,738 326 999 04;
  • 45) 0,738 326 999 04 × 2 = 1 + 0,476 653 998 08;
  • 46) 0,476 653 998 08 × 2 = 0 + 0,953 307 996 16;
  • 47) 0,953 307 996 16 × 2 = 1 + 0,906 615 992 32;
  • 48) 0,906 615 992 32 × 2 = 1 + 0,813 231 984 64;
  • 49) 0,813 231 984 64 × 2 = 1 + 0,626 463 969 28;
  • 50) 0,626 463 969 28 × 2 = 1 + 0,252 927 938 56;
  • 51) 0,252 927 938 56 × 2 = 0 + 0,505 855 877 12;
  • 52) 0,505 855 877 12 × 2 = 1 + 0,011 711 754 24;
  • 53) 0,011 711 754 24 × 2 = 0 + 0,023 423 508 48;
  • 54) 0,023 423 508 48 × 2 = 0 + 0,046 847 016 96;
  • 55) 0,046 847 016 96 × 2 = 0 + 0,093 694 033 92;
  • 56) 0,093 694 033 92 × 2 = 0 + 0,187 388 067 84;
  • 57) 0,187 388 067 84 × 2 = 0 + 0,374 776 135 68;
  • 58) 0,374 776 135 68 × 2 = 0 + 0,749 552 271 36;
  • 59) 0,749 552 271 36 × 2 = 1 + 0,499 104 542 72;
  • 60) 0,499 104 542 72 × 2 = 0 + 0,998 209 085 44;
  • 61) 0,998 209 085 44 × 2 = 1 + 0,996 418 170 88;
  • 62) 0,996 418 170 88 × 2 = 1 + 0,992 836 341 76;
  • 63) 0,992 836 341 76 × 2 = 1 + 0,985 672 683 52;
  • 64) 0,985 672 683 52 × 2 = 1 + 0,971 345 367 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 003 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 003 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 003 94(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111 =

0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111


Numărul zecimal -0,000 282 003 94 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1101 1011 0011 0001 1011 1101 0000 0010 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 21 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100