-0,000 282 004 18 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 18(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 18(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 18| = 0,000 282 004 18


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 18.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 18 × 2 = 0 + 0,000 564 008 36;
  • 2) 0,000 564 008 36 × 2 = 0 + 0,001 128 016 72;
  • 3) 0,001 128 016 72 × 2 = 0 + 0,002 256 033 44;
  • 4) 0,002 256 033 44 × 2 = 0 + 0,004 512 066 88;
  • 5) 0,004 512 066 88 × 2 = 0 + 0,009 024 133 76;
  • 6) 0,009 024 133 76 × 2 = 0 + 0,018 048 267 52;
  • 7) 0,018 048 267 52 × 2 = 0 + 0,036 096 535 04;
  • 8) 0,036 096 535 04 × 2 = 0 + 0,072 193 070 08;
  • 9) 0,072 193 070 08 × 2 = 0 + 0,144 386 140 16;
  • 10) 0,144 386 140 16 × 2 = 0 + 0,288 772 280 32;
  • 11) 0,288 772 280 32 × 2 = 0 + 0,577 544 560 64;
  • 12) 0,577 544 560 64 × 2 = 1 + 0,155 089 121 28;
  • 13) 0,155 089 121 28 × 2 = 0 + 0,310 178 242 56;
  • 14) 0,310 178 242 56 × 2 = 0 + 0,620 356 485 12;
  • 15) 0,620 356 485 12 × 2 = 1 + 0,240 712 970 24;
  • 16) 0,240 712 970 24 × 2 = 0 + 0,481 425 940 48;
  • 17) 0,481 425 940 48 × 2 = 0 + 0,962 851 880 96;
  • 18) 0,962 851 880 96 × 2 = 1 + 0,925 703 761 92;
  • 19) 0,925 703 761 92 × 2 = 1 + 0,851 407 523 84;
  • 20) 0,851 407 523 84 × 2 = 1 + 0,702 815 047 68;
  • 21) 0,702 815 047 68 × 2 = 1 + 0,405 630 095 36;
  • 22) 0,405 630 095 36 × 2 = 0 + 0,811 260 190 72;
  • 23) 0,811 260 190 72 × 2 = 1 + 0,622 520 381 44;
  • 24) 0,622 520 381 44 × 2 = 1 + 0,245 040 762 88;
  • 25) 0,245 040 762 88 × 2 = 0 + 0,490 081 525 76;
  • 26) 0,490 081 525 76 × 2 = 0 + 0,980 163 051 52;
  • 27) 0,980 163 051 52 × 2 = 1 + 0,960 326 103 04;
  • 28) 0,960 326 103 04 × 2 = 1 + 0,920 652 206 08;
  • 29) 0,920 652 206 08 × 2 = 1 + 0,841 304 412 16;
  • 30) 0,841 304 412 16 × 2 = 1 + 0,682 608 824 32;
  • 31) 0,682 608 824 32 × 2 = 1 + 0,365 217 648 64;
  • 32) 0,365 217 648 64 × 2 = 0 + 0,730 435 297 28;
  • 33) 0,730 435 297 28 × 2 = 1 + 0,460 870 594 56;
  • 34) 0,460 870 594 56 × 2 = 0 + 0,921 741 189 12;
  • 35) 0,921 741 189 12 × 2 = 1 + 0,843 482 378 24;
  • 36) 0,843 482 378 24 × 2 = 1 + 0,686 964 756 48;
  • 37) 0,686 964 756 48 × 2 = 1 + 0,373 929 512 96;
  • 38) 0,373 929 512 96 × 2 = 0 + 0,747 859 025 92;
  • 39) 0,747 859 025 92 × 2 = 1 + 0,495 718 051 84;
  • 40) 0,495 718 051 84 × 2 = 0 + 0,991 436 103 68;
  • 41) 0,991 436 103 68 × 2 = 1 + 0,982 872 207 36;
  • 42) 0,982 872 207 36 × 2 = 1 + 0,965 744 414 72;
  • 43) 0,965 744 414 72 × 2 = 1 + 0,931 488 829 44;
  • 44) 0,931 488 829 44 × 2 = 1 + 0,862 977 658 88;
  • 45) 0,862 977 658 88 × 2 = 1 + 0,725 955 317 76;
  • 46) 0,725 955 317 76 × 2 = 1 + 0,451 910 635 52;
  • 47) 0,451 910 635 52 × 2 = 0 + 0,903 821 271 04;
  • 48) 0,903 821 271 04 × 2 = 1 + 0,807 642 542 08;
  • 49) 0,807 642 542 08 × 2 = 1 + 0,615 285 084 16;
  • 50) 0,615 285 084 16 × 2 = 1 + 0,230 570 168 32;
  • 51) 0,230 570 168 32 × 2 = 0 + 0,461 140 336 64;
  • 52) 0,461 140 336 64 × 2 = 0 + 0,922 280 673 28;
  • 53) 0,922 280 673 28 × 2 = 1 + 0,844 561 346 56;
  • 54) 0,844 561 346 56 × 2 = 1 + 0,689 122 693 12;
  • 55) 0,689 122 693 12 × 2 = 1 + 0,378 245 386 24;
  • 56) 0,378 245 386 24 × 2 = 0 + 0,756 490 772 48;
  • 57) 0,756 490 772 48 × 2 = 1 + 0,512 981 544 96;
  • 58) 0,512 981 544 96 × 2 = 1 + 0,025 963 089 92;
  • 59) 0,025 963 089 92 × 2 = 0 + 0,051 926 179 84;
  • 60) 0,051 926 179 84 × 2 = 0 + 0,103 852 359 68;
  • 61) 0,103 852 359 68 × 2 = 0 + 0,207 704 719 36;
  • 62) 0,207 704 719 36 × 2 = 0 + 0,415 409 438 72;
  • 63) 0,415 409 438 72 × 2 = 0 + 0,830 818 877 44;
  • 64) 0,830 818 877 44 × 2 = 1 + 0,661 637 754 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 18(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001 =

0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001


Numărul zecimal -0,000 282 004 18 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1110 1011 1010 1111 1101 1100 1110 1100 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 11 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100