-0,000 282 004 28 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 28(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 28(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 28| = 0,000 282 004 28


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 28.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 28 × 2 = 0 + 0,000 564 008 56;
  • 2) 0,000 564 008 56 × 2 = 0 + 0,001 128 017 12;
  • 3) 0,001 128 017 12 × 2 = 0 + 0,002 256 034 24;
  • 4) 0,002 256 034 24 × 2 = 0 + 0,004 512 068 48;
  • 5) 0,004 512 068 48 × 2 = 0 + 0,009 024 136 96;
  • 6) 0,009 024 136 96 × 2 = 0 + 0,018 048 273 92;
  • 7) 0,018 048 273 92 × 2 = 0 + 0,036 096 547 84;
  • 8) 0,036 096 547 84 × 2 = 0 + 0,072 193 095 68;
  • 9) 0,072 193 095 68 × 2 = 0 + 0,144 386 191 36;
  • 10) 0,144 386 191 36 × 2 = 0 + 0,288 772 382 72;
  • 11) 0,288 772 382 72 × 2 = 0 + 0,577 544 765 44;
  • 12) 0,577 544 765 44 × 2 = 1 + 0,155 089 530 88;
  • 13) 0,155 089 530 88 × 2 = 0 + 0,310 179 061 76;
  • 14) 0,310 179 061 76 × 2 = 0 + 0,620 358 123 52;
  • 15) 0,620 358 123 52 × 2 = 1 + 0,240 716 247 04;
  • 16) 0,240 716 247 04 × 2 = 0 + 0,481 432 494 08;
  • 17) 0,481 432 494 08 × 2 = 0 + 0,962 864 988 16;
  • 18) 0,962 864 988 16 × 2 = 1 + 0,925 729 976 32;
  • 19) 0,925 729 976 32 × 2 = 1 + 0,851 459 952 64;
  • 20) 0,851 459 952 64 × 2 = 1 + 0,702 919 905 28;
  • 21) 0,702 919 905 28 × 2 = 1 + 0,405 839 810 56;
  • 22) 0,405 839 810 56 × 2 = 0 + 0,811 679 621 12;
  • 23) 0,811 679 621 12 × 2 = 1 + 0,623 359 242 24;
  • 24) 0,623 359 242 24 × 2 = 1 + 0,246 718 484 48;
  • 25) 0,246 718 484 48 × 2 = 0 + 0,493 436 968 96;
  • 26) 0,493 436 968 96 × 2 = 0 + 0,986 873 937 92;
  • 27) 0,986 873 937 92 × 2 = 1 + 0,973 747 875 84;
  • 28) 0,973 747 875 84 × 2 = 1 + 0,947 495 751 68;
  • 29) 0,947 495 751 68 × 2 = 1 + 0,894 991 503 36;
  • 30) 0,894 991 503 36 × 2 = 1 + 0,789 983 006 72;
  • 31) 0,789 983 006 72 × 2 = 1 + 0,579 966 013 44;
  • 32) 0,579 966 013 44 × 2 = 1 + 0,159 932 026 88;
  • 33) 0,159 932 026 88 × 2 = 0 + 0,319 864 053 76;
  • 34) 0,319 864 053 76 × 2 = 0 + 0,639 728 107 52;
  • 35) 0,639 728 107 52 × 2 = 1 + 0,279 456 215 04;
  • 36) 0,279 456 215 04 × 2 = 0 + 0,558 912 430 08;
  • 37) 0,558 912 430 08 × 2 = 1 + 0,117 824 860 16;
  • 38) 0,117 824 860 16 × 2 = 0 + 0,235 649 720 32;
  • 39) 0,235 649 720 32 × 2 = 0 + 0,471 299 440 64;
  • 40) 0,471 299 440 64 × 2 = 0 + 0,942 598 881 28;
  • 41) 0,942 598 881 28 × 2 = 1 + 0,885 197 762 56;
  • 42) 0,885 197 762 56 × 2 = 1 + 0,770 395 525 12;
  • 43) 0,770 395 525 12 × 2 = 1 + 0,540 791 050 24;
  • 44) 0,540 791 050 24 × 2 = 1 + 0,081 582 100 48;
  • 45) 0,081 582 100 48 × 2 = 0 + 0,163 164 200 96;
  • 46) 0,163 164 200 96 × 2 = 0 + 0,326 328 401 92;
  • 47) 0,326 328 401 92 × 2 = 0 + 0,652 656 803 84;
  • 48) 0,652 656 803 84 × 2 = 1 + 0,305 313 607 68;
  • 49) 0,305 313 607 68 × 2 = 0 + 0,610 627 215 36;
  • 50) 0,610 627 215 36 × 2 = 1 + 0,221 254 430 72;
  • 51) 0,221 254 430 72 × 2 = 0 + 0,442 508 861 44;
  • 52) 0,442 508 861 44 × 2 = 0 + 0,885 017 722 88;
  • 53) 0,885 017 722 88 × 2 = 1 + 0,770 035 445 76;
  • 54) 0,770 035 445 76 × 2 = 1 + 0,540 070 891 52;
  • 55) 0,540 070 891 52 × 2 = 1 + 0,080 141 783 04;
  • 56) 0,080 141 783 04 × 2 = 0 + 0,160 283 566 08;
  • 57) 0,160 283 566 08 × 2 = 0 + 0,320 567 132 16;
  • 58) 0,320 567 132 16 × 2 = 0 + 0,641 134 264 32;
  • 59) 0,641 134 264 32 × 2 = 1 + 0,282 268 528 64;
  • 60) 0,282 268 528 64 × 2 = 0 + 0,564 537 057 28;
  • 61) 0,564 537 057 28 × 2 = 1 + 0,129 074 114 56;
  • 62) 0,129 074 114 56 × 2 = 0 + 0,258 148 229 12;
  • 63) 0,258 148 229 12 × 2 = 0 + 0,516 296 458 24;
  • 64) 0,516 296 458 24 × 2 = 1 + 0,032 592 916 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001 =

0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001


Numărul zecimal -0,000 282 004 28 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1111 0010 1000 1111 0001 0100 1110 0010 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 08 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100