-0,000 282 004 41 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 41(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 41(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 41| = 0,000 282 004 41


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 41.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 41 × 2 = 0 + 0,000 564 008 82;
  • 2) 0,000 564 008 82 × 2 = 0 + 0,001 128 017 64;
  • 3) 0,001 128 017 64 × 2 = 0 + 0,002 256 035 28;
  • 4) 0,002 256 035 28 × 2 = 0 + 0,004 512 070 56;
  • 5) 0,004 512 070 56 × 2 = 0 + 0,009 024 141 12;
  • 6) 0,009 024 141 12 × 2 = 0 + 0,018 048 282 24;
  • 7) 0,018 048 282 24 × 2 = 0 + 0,036 096 564 48;
  • 8) 0,036 096 564 48 × 2 = 0 + 0,072 193 128 96;
  • 9) 0,072 193 128 96 × 2 = 0 + 0,144 386 257 92;
  • 10) 0,144 386 257 92 × 2 = 0 + 0,288 772 515 84;
  • 11) 0,288 772 515 84 × 2 = 0 + 0,577 545 031 68;
  • 12) 0,577 545 031 68 × 2 = 1 + 0,155 090 063 36;
  • 13) 0,155 090 063 36 × 2 = 0 + 0,310 180 126 72;
  • 14) 0,310 180 126 72 × 2 = 0 + 0,620 360 253 44;
  • 15) 0,620 360 253 44 × 2 = 1 + 0,240 720 506 88;
  • 16) 0,240 720 506 88 × 2 = 0 + 0,481 441 013 76;
  • 17) 0,481 441 013 76 × 2 = 0 + 0,962 882 027 52;
  • 18) 0,962 882 027 52 × 2 = 1 + 0,925 764 055 04;
  • 19) 0,925 764 055 04 × 2 = 1 + 0,851 528 110 08;
  • 20) 0,851 528 110 08 × 2 = 1 + 0,703 056 220 16;
  • 21) 0,703 056 220 16 × 2 = 1 + 0,406 112 440 32;
  • 22) 0,406 112 440 32 × 2 = 0 + 0,812 224 880 64;
  • 23) 0,812 224 880 64 × 2 = 1 + 0,624 449 761 28;
  • 24) 0,624 449 761 28 × 2 = 1 + 0,248 899 522 56;
  • 25) 0,248 899 522 56 × 2 = 0 + 0,497 799 045 12;
  • 26) 0,497 799 045 12 × 2 = 0 + 0,995 598 090 24;
  • 27) 0,995 598 090 24 × 2 = 1 + 0,991 196 180 48;
  • 28) 0,991 196 180 48 × 2 = 1 + 0,982 392 360 96;
  • 29) 0,982 392 360 96 × 2 = 1 + 0,964 784 721 92;
  • 30) 0,964 784 721 92 × 2 = 1 + 0,929 569 443 84;
  • 31) 0,929 569 443 84 × 2 = 1 + 0,859 138 887 68;
  • 32) 0,859 138 887 68 × 2 = 1 + 0,718 277 775 36;
  • 33) 0,718 277 775 36 × 2 = 1 + 0,436 555 550 72;
  • 34) 0,436 555 550 72 × 2 = 0 + 0,873 111 101 44;
  • 35) 0,873 111 101 44 × 2 = 1 + 0,746 222 202 88;
  • 36) 0,746 222 202 88 × 2 = 1 + 0,492 444 405 76;
  • 37) 0,492 444 405 76 × 2 = 0 + 0,984 888 811 52;
  • 38) 0,984 888 811 52 × 2 = 1 + 0,969 777 623 04;
  • 39) 0,969 777 623 04 × 2 = 1 + 0,939 555 246 08;
  • 40) 0,939 555 246 08 × 2 = 1 + 0,879 110 492 16;
  • 41) 0,879 110 492 16 × 2 = 1 + 0,758 220 984 32;
  • 42) 0,758 220 984 32 × 2 = 1 + 0,516 441 968 64;
  • 43) 0,516 441 968 64 × 2 = 1 + 0,032 883 937 28;
  • 44) 0,032 883 937 28 × 2 = 0 + 0,065 767 874 56;
  • 45) 0,065 767 874 56 × 2 = 0 + 0,131 535 749 12;
  • 46) 0,131 535 749 12 × 2 = 0 + 0,263 071 498 24;
  • 47) 0,263 071 498 24 × 2 = 0 + 0,526 142 996 48;
  • 48) 0,526 142 996 48 × 2 = 1 + 0,052 285 992 96;
  • 49) 0,052 285 992 96 × 2 = 0 + 0,104 571 985 92;
  • 50) 0,104 571 985 92 × 2 = 0 + 0,209 143 971 84;
  • 51) 0,209 143 971 84 × 2 = 0 + 0,418 287 943 68;
  • 52) 0,418 287 943 68 × 2 = 0 + 0,836 575 887 36;
  • 53) 0,836 575 887 36 × 2 = 1 + 0,673 151 774 72;
  • 54) 0,673 151 774 72 × 2 = 1 + 0,346 303 549 44;
  • 55) 0,346 303 549 44 × 2 = 0 + 0,692 607 098 88;
  • 56) 0,692 607 098 88 × 2 = 1 + 0,385 214 197 76;
  • 57) 0,385 214 197 76 × 2 = 0 + 0,770 428 395 52;
  • 58) 0,770 428 395 52 × 2 = 1 + 0,540 856 791 04;
  • 59) 0,540 856 791 04 × 2 = 1 + 0,081 713 582 08;
  • 60) 0,081 713 582 08 × 2 = 0 + 0,163 427 164 16;
  • 61) 0,163 427 164 16 × 2 = 0 + 0,326 854 328 32;
  • 62) 0,326 854 328 32 × 2 = 0 + 0,653 708 656 64;
  • 63) 0,653 708 656 64 × 2 = 1 + 0,307 417 313 28;
  • 64) 0,307 417 313 28 × 2 = 0 + 0,614 834 626 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 41(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 41(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 41(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010 =

0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010


Numărul zecimal -0,000 282 004 41 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1111 1011 0111 1110 0001 0000 1101 0110 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 44 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100