-0,000 282 004 58 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 58(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 58(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 58| = 0,000 282 004 58


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 58.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 58 × 2 = 0 + 0,000 564 009 16;
  • 2) 0,000 564 009 16 × 2 = 0 + 0,001 128 018 32;
  • 3) 0,001 128 018 32 × 2 = 0 + 0,002 256 036 64;
  • 4) 0,002 256 036 64 × 2 = 0 + 0,004 512 073 28;
  • 5) 0,004 512 073 28 × 2 = 0 + 0,009 024 146 56;
  • 6) 0,009 024 146 56 × 2 = 0 + 0,018 048 293 12;
  • 7) 0,018 048 293 12 × 2 = 0 + 0,036 096 586 24;
  • 8) 0,036 096 586 24 × 2 = 0 + 0,072 193 172 48;
  • 9) 0,072 193 172 48 × 2 = 0 + 0,144 386 344 96;
  • 10) 0,144 386 344 96 × 2 = 0 + 0,288 772 689 92;
  • 11) 0,288 772 689 92 × 2 = 0 + 0,577 545 379 84;
  • 12) 0,577 545 379 84 × 2 = 1 + 0,155 090 759 68;
  • 13) 0,155 090 759 68 × 2 = 0 + 0,310 181 519 36;
  • 14) 0,310 181 519 36 × 2 = 0 + 0,620 363 038 72;
  • 15) 0,620 363 038 72 × 2 = 1 + 0,240 726 077 44;
  • 16) 0,240 726 077 44 × 2 = 0 + 0,481 452 154 88;
  • 17) 0,481 452 154 88 × 2 = 0 + 0,962 904 309 76;
  • 18) 0,962 904 309 76 × 2 = 1 + 0,925 808 619 52;
  • 19) 0,925 808 619 52 × 2 = 1 + 0,851 617 239 04;
  • 20) 0,851 617 239 04 × 2 = 1 + 0,703 234 478 08;
  • 21) 0,703 234 478 08 × 2 = 1 + 0,406 468 956 16;
  • 22) 0,406 468 956 16 × 2 = 0 + 0,812 937 912 32;
  • 23) 0,812 937 912 32 × 2 = 1 + 0,625 875 824 64;
  • 24) 0,625 875 824 64 × 2 = 1 + 0,251 751 649 28;
  • 25) 0,251 751 649 28 × 2 = 0 + 0,503 503 298 56;
  • 26) 0,503 503 298 56 × 2 = 1 + 0,007 006 597 12;
  • 27) 0,007 006 597 12 × 2 = 0 + 0,014 013 194 24;
  • 28) 0,014 013 194 24 × 2 = 0 + 0,028 026 388 48;
  • 29) 0,028 026 388 48 × 2 = 0 + 0,056 052 776 96;
  • 30) 0,056 052 776 96 × 2 = 0 + 0,112 105 553 92;
  • 31) 0,112 105 553 92 × 2 = 0 + 0,224 211 107 84;
  • 32) 0,224 211 107 84 × 2 = 0 + 0,448 422 215 68;
  • 33) 0,448 422 215 68 × 2 = 0 + 0,896 844 431 36;
  • 34) 0,896 844 431 36 × 2 = 1 + 0,793 688 862 72;
  • 35) 0,793 688 862 72 × 2 = 1 + 0,587 377 725 44;
  • 36) 0,587 377 725 44 × 2 = 1 + 0,174 755 450 88;
  • 37) 0,174 755 450 88 × 2 = 0 + 0,349 510 901 76;
  • 38) 0,349 510 901 76 × 2 = 0 + 0,699 021 803 52;
  • 39) 0,699 021 803 52 × 2 = 1 + 0,398 043 607 04;
  • 40) 0,398 043 607 04 × 2 = 0 + 0,796 087 214 08;
  • 41) 0,796 087 214 08 × 2 = 1 + 0,592 174 428 16;
  • 42) 0,592 174 428 16 × 2 = 1 + 0,184 348 856 32;
  • 43) 0,184 348 856 32 × 2 = 0 + 0,368 697 712 64;
  • 44) 0,368 697 712 64 × 2 = 0 + 0,737 395 425 28;
  • 45) 0,737 395 425 28 × 2 = 1 + 0,474 790 850 56;
  • 46) 0,474 790 850 56 × 2 = 0 + 0,949 581 701 12;
  • 47) 0,949 581 701 12 × 2 = 1 + 0,899 163 402 24;
  • 48) 0,899 163 402 24 × 2 = 1 + 0,798 326 804 48;
  • 49) 0,798 326 804 48 × 2 = 1 + 0,596 653 608 96;
  • 50) 0,596 653 608 96 × 2 = 1 + 0,193 307 217 92;
  • 51) 0,193 307 217 92 × 2 = 0 + 0,386 614 435 84;
  • 52) 0,386 614 435 84 × 2 = 0 + 0,773 228 871 68;
  • 53) 0,773 228 871 68 × 2 = 1 + 0,546 457 743 36;
  • 54) 0,546 457 743 36 × 2 = 1 + 0,092 915 486 72;
  • 55) 0,092 915 486 72 × 2 = 0 + 0,185 830 973 44;
  • 56) 0,185 830 973 44 × 2 = 0 + 0,371 661 946 88;
  • 57) 0,371 661 946 88 × 2 = 0 + 0,743 323 893 76;
  • 58) 0,743 323 893 76 × 2 = 1 + 0,486 647 787 52;
  • 59) 0,486 647 787 52 × 2 = 0 + 0,973 295 575 04;
  • 60) 0,973 295 575 04 × 2 = 1 + 0,946 591 150 08;
  • 61) 0,946 591 150 08 × 2 = 1 + 0,893 182 300 16;
  • 62) 0,893 182 300 16 × 2 = 1 + 0,786 364 600 32;
  • 63) 0,786 364 600 32 × 2 = 1 + 0,572 729 200 64;
  • 64) 0,572 729 200 64 × 2 = 1 + 0,145 458 401 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 58(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 58(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 58(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111 =

0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111


Numărul zecimal -0,000 282 004 58 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0000 0111 0010 1100 1011 1100 1100 0101 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 89 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100