-0,000 282 004 65 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 65(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 65(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 65| = 0,000 282 004 65


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 65.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 65 × 2 = 0 + 0,000 564 009 3;
  • 2) 0,000 564 009 3 × 2 = 0 + 0,001 128 018 6;
  • 3) 0,001 128 018 6 × 2 = 0 + 0,002 256 037 2;
  • 4) 0,002 256 037 2 × 2 = 0 + 0,004 512 074 4;
  • 5) 0,004 512 074 4 × 2 = 0 + 0,009 024 148 8;
  • 6) 0,009 024 148 8 × 2 = 0 + 0,018 048 297 6;
  • 7) 0,018 048 297 6 × 2 = 0 + 0,036 096 595 2;
  • 8) 0,036 096 595 2 × 2 = 0 + 0,072 193 190 4;
  • 9) 0,072 193 190 4 × 2 = 0 + 0,144 386 380 8;
  • 10) 0,144 386 380 8 × 2 = 0 + 0,288 772 761 6;
  • 11) 0,288 772 761 6 × 2 = 0 + 0,577 545 523 2;
  • 12) 0,577 545 523 2 × 2 = 1 + 0,155 091 046 4;
  • 13) 0,155 091 046 4 × 2 = 0 + 0,310 182 092 8;
  • 14) 0,310 182 092 8 × 2 = 0 + 0,620 364 185 6;
  • 15) 0,620 364 185 6 × 2 = 1 + 0,240 728 371 2;
  • 16) 0,240 728 371 2 × 2 = 0 + 0,481 456 742 4;
  • 17) 0,481 456 742 4 × 2 = 0 + 0,962 913 484 8;
  • 18) 0,962 913 484 8 × 2 = 1 + 0,925 826 969 6;
  • 19) 0,925 826 969 6 × 2 = 1 + 0,851 653 939 2;
  • 20) 0,851 653 939 2 × 2 = 1 + 0,703 307 878 4;
  • 21) 0,703 307 878 4 × 2 = 1 + 0,406 615 756 8;
  • 22) 0,406 615 756 8 × 2 = 0 + 0,813 231 513 6;
  • 23) 0,813 231 513 6 × 2 = 1 + 0,626 463 027 2;
  • 24) 0,626 463 027 2 × 2 = 1 + 0,252 926 054 4;
  • 25) 0,252 926 054 4 × 2 = 0 + 0,505 852 108 8;
  • 26) 0,505 852 108 8 × 2 = 1 + 0,011 704 217 6;
  • 27) 0,011 704 217 6 × 2 = 0 + 0,023 408 435 2;
  • 28) 0,023 408 435 2 × 2 = 0 + 0,046 816 870 4;
  • 29) 0,046 816 870 4 × 2 = 0 + 0,093 633 740 8;
  • 30) 0,093 633 740 8 × 2 = 0 + 0,187 267 481 6;
  • 31) 0,187 267 481 6 × 2 = 0 + 0,374 534 963 2;
  • 32) 0,374 534 963 2 × 2 = 0 + 0,749 069 926 4;
  • 33) 0,749 069 926 4 × 2 = 1 + 0,498 139 852 8;
  • 34) 0,498 139 852 8 × 2 = 0 + 0,996 279 705 6;
  • 35) 0,996 279 705 6 × 2 = 1 + 0,992 559 411 2;
  • 36) 0,992 559 411 2 × 2 = 1 + 0,985 118 822 4;
  • 37) 0,985 118 822 4 × 2 = 1 + 0,970 237 644 8;
  • 38) 0,970 237 644 8 × 2 = 1 + 0,940 475 289 6;
  • 39) 0,940 475 289 6 × 2 = 1 + 0,880 950 579 2;
  • 40) 0,880 950 579 2 × 2 = 1 + 0,761 901 158 4;
  • 41) 0,761 901 158 4 × 2 = 1 + 0,523 802 316 8;
  • 42) 0,523 802 316 8 × 2 = 1 + 0,047 604 633 6;
  • 43) 0,047 604 633 6 × 2 = 0 + 0,095 209 267 2;
  • 44) 0,095 209 267 2 × 2 = 0 + 0,190 418 534 4;
  • 45) 0,190 418 534 4 × 2 = 0 + 0,380 837 068 8;
  • 46) 0,380 837 068 8 × 2 = 0 + 0,761 674 137 6;
  • 47) 0,761 674 137 6 × 2 = 1 + 0,523 348 275 2;
  • 48) 0,523 348 275 2 × 2 = 1 + 0,046 696 550 4;
  • 49) 0,046 696 550 4 × 2 = 0 + 0,093 393 100 8;
  • 50) 0,093 393 100 8 × 2 = 0 + 0,186 786 201 6;
  • 51) 0,186 786 201 6 × 2 = 0 + 0,373 572 403 2;
  • 52) 0,373 572 403 2 × 2 = 0 + 0,747 144 806 4;
  • 53) 0,747 144 806 4 × 2 = 1 + 0,494 289 612 8;
  • 54) 0,494 289 612 8 × 2 = 0 + 0,988 579 225 6;
  • 55) 0,988 579 225 6 × 2 = 1 + 0,977 158 451 2;
  • 56) 0,977 158 451 2 × 2 = 1 + 0,954 316 902 4;
  • 57) 0,954 316 902 4 × 2 = 1 + 0,908 633 804 8;
  • 58) 0,908 633 804 8 × 2 = 1 + 0,817 267 609 6;
  • 59) 0,817 267 609 6 × 2 = 1 + 0,634 535 219 2;
  • 60) 0,634 535 219 2 × 2 = 1 + 0,269 070 438 4;
  • 61) 0,269 070 438 4 × 2 = 0 + 0,538 140 876 8;
  • 62) 0,538 140 876 8 × 2 = 1 + 0,076 281 753 6;
  • 63) 0,076 281 753 6 × 2 = 0 + 0,152 563 507 2;
  • 64) 0,152 563 507 2 × 2 = 0 + 0,305 127 014 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 65(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 65(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 65(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100 =

0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100


Numărul zecimal -0,000 282 004 65 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0000 1011 1111 1100 0011 0000 1011 1111 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 003 72 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100