-0,000 282 004 82 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 82(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 82(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 82| = 0,000 282 004 82


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 82.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 82 × 2 = 0 + 0,000 564 009 64;
  • 2) 0,000 564 009 64 × 2 = 0 + 0,001 128 019 28;
  • 3) 0,001 128 019 28 × 2 = 0 + 0,002 256 038 56;
  • 4) 0,002 256 038 56 × 2 = 0 + 0,004 512 077 12;
  • 5) 0,004 512 077 12 × 2 = 0 + 0,009 024 154 24;
  • 6) 0,009 024 154 24 × 2 = 0 + 0,018 048 308 48;
  • 7) 0,018 048 308 48 × 2 = 0 + 0,036 096 616 96;
  • 8) 0,036 096 616 96 × 2 = 0 + 0,072 193 233 92;
  • 9) 0,072 193 233 92 × 2 = 0 + 0,144 386 467 84;
  • 10) 0,144 386 467 84 × 2 = 0 + 0,288 772 935 68;
  • 11) 0,288 772 935 68 × 2 = 0 + 0,577 545 871 36;
  • 12) 0,577 545 871 36 × 2 = 1 + 0,155 091 742 72;
  • 13) 0,155 091 742 72 × 2 = 0 + 0,310 183 485 44;
  • 14) 0,310 183 485 44 × 2 = 0 + 0,620 366 970 88;
  • 15) 0,620 366 970 88 × 2 = 1 + 0,240 733 941 76;
  • 16) 0,240 733 941 76 × 2 = 0 + 0,481 467 883 52;
  • 17) 0,481 467 883 52 × 2 = 0 + 0,962 935 767 04;
  • 18) 0,962 935 767 04 × 2 = 1 + 0,925 871 534 08;
  • 19) 0,925 871 534 08 × 2 = 1 + 0,851 743 068 16;
  • 20) 0,851 743 068 16 × 2 = 1 + 0,703 486 136 32;
  • 21) 0,703 486 136 32 × 2 = 1 + 0,406 972 272 64;
  • 22) 0,406 972 272 64 × 2 = 0 + 0,813 944 545 28;
  • 23) 0,813 944 545 28 × 2 = 1 + 0,627 889 090 56;
  • 24) 0,627 889 090 56 × 2 = 1 + 0,255 778 181 12;
  • 25) 0,255 778 181 12 × 2 = 0 + 0,511 556 362 24;
  • 26) 0,511 556 362 24 × 2 = 1 + 0,023 112 724 48;
  • 27) 0,023 112 724 48 × 2 = 0 + 0,046 225 448 96;
  • 28) 0,046 225 448 96 × 2 = 0 + 0,092 450 897 92;
  • 29) 0,092 450 897 92 × 2 = 0 + 0,184 901 795 84;
  • 30) 0,184 901 795 84 × 2 = 0 + 0,369 803 591 68;
  • 31) 0,369 803 591 68 × 2 = 0 + 0,739 607 183 36;
  • 32) 0,739 607 183 36 × 2 = 1 + 0,479 214 366 72;
  • 33) 0,479 214 366 72 × 2 = 0 + 0,958 428 733 44;
  • 34) 0,958 428 733 44 × 2 = 1 + 0,916 857 466 88;
  • 35) 0,916 857 466 88 × 2 = 1 + 0,833 714 933 76;
  • 36) 0,833 714 933 76 × 2 = 1 + 0,667 429 867 52;
  • 37) 0,667 429 867 52 × 2 = 1 + 0,334 859 735 04;
  • 38) 0,334 859 735 04 × 2 = 0 + 0,669 719 470 08;
  • 39) 0,669 719 470 08 × 2 = 1 + 0,339 438 940 16;
  • 40) 0,339 438 940 16 × 2 = 0 + 0,678 877 880 32;
  • 41) 0,678 877 880 32 × 2 = 1 + 0,357 755 760 64;
  • 42) 0,357 755 760 64 × 2 = 0 + 0,715 511 521 28;
  • 43) 0,715 511 521 28 × 2 = 1 + 0,431 023 042 56;
  • 44) 0,431 023 042 56 × 2 = 0 + 0,862 046 085 12;
  • 45) 0,862 046 085 12 × 2 = 1 + 0,724 092 170 24;
  • 46) 0,724 092 170 24 × 2 = 1 + 0,448 184 340 48;
  • 47) 0,448 184 340 48 × 2 = 0 + 0,896 368 680 96;
  • 48) 0,896 368 680 96 × 2 = 1 + 0,792 737 361 92;
  • 49) 0,792 737 361 92 × 2 = 1 + 0,585 474 723 84;
  • 50) 0,585 474 723 84 × 2 = 1 + 0,170 949 447 68;
  • 51) 0,170 949 447 68 × 2 = 0 + 0,341 898 895 36;
  • 52) 0,341 898 895 36 × 2 = 0 + 0,683 797 790 72;
  • 53) 0,683 797 790 72 × 2 = 1 + 0,367 595 581 44;
  • 54) 0,367 595 581 44 × 2 = 0 + 0,735 191 162 88;
  • 55) 0,735 191 162 88 × 2 = 1 + 0,470 382 325 76;
  • 56) 0,470 382 325 76 × 2 = 0 + 0,940 764 651 52;
  • 57) 0,940 764 651 52 × 2 = 1 + 0,881 529 303 04;
  • 58) 0,881 529 303 04 × 2 = 1 + 0,763 058 606 08;
  • 59) 0,763 058 606 08 × 2 = 1 + 0,526 117 212 16;
  • 60) 0,526 117 212 16 × 2 = 1 + 0,052 234 424 32;
  • 61) 0,052 234 424 32 × 2 = 0 + 0,104 468 848 64;
  • 62) 0,104 468 848 64 × 2 = 0 + 0,208 937 697 28;
  • 63) 0,208 937 697 28 × 2 = 0 + 0,417 875 394 56;
  • 64) 0,417 875 394 56 × 2 = 0 + 0,835 750 789 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 82(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 82(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 82(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000 =

0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000


Numărul zecimal -0,000 282 004 82 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0001 0111 1010 1010 1101 1100 1010 1111 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 91 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100