-0,000 282 004 95 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 95(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 95(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 95| = 0,000 282 004 95


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 95.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 95 × 2 = 0 + 0,000 564 009 9;
  • 2) 0,000 564 009 9 × 2 = 0 + 0,001 128 019 8;
  • 3) 0,001 128 019 8 × 2 = 0 + 0,002 256 039 6;
  • 4) 0,002 256 039 6 × 2 = 0 + 0,004 512 079 2;
  • 5) 0,004 512 079 2 × 2 = 0 + 0,009 024 158 4;
  • 6) 0,009 024 158 4 × 2 = 0 + 0,018 048 316 8;
  • 7) 0,018 048 316 8 × 2 = 0 + 0,036 096 633 6;
  • 8) 0,036 096 633 6 × 2 = 0 + 0,072 193 267 2;
  • 9) 0,072 193 267 2 × 2 = 0 + 0,144 386 534 4;
  • 10) 0,144 386 534 4 × 2 = 0 + 0,288 773 068 8;
  • 11) 0,288 773 068 8 × 2 = 0 + 0,577 546 137 6;
  • 12) 0,577 546 137 6 × 2 = 1 + 0,155 092 275 2;
  • 13) 0,155 092 275 2 × 2 = 0 + 0,310 184 550 4;
  • 14) 0,310 184 550 4 × 2 = 0 + 0,620 369 100 8;
  • 15) 0,620 369 100 8 × 2 = 1 + 0,240 738 201 6;
  • 16) 0,240 738 201 6 × 2 = 0 + 0,481 476 403 2;
  • 17) 0,481 476 403 2 × 2 = 0 + 0,962 952 806 4;
  • 18) 0,962 952 806 4 × 2 = 1 + 0,925 905 612 8;
  • 19) 0,925 905 612 8 × 2 = 1 + 0,851 811 225 6;
  • 20) 0,851 811 225 6 × 2 = 1 + 0,703 622 451 2;
  • 21) 0,703 622 451 2 × 2 = 1 + 0,407 244 902 4;
  • 22) 0,407 244 902 4 × 2 = 0 + 0,814 489 804 8;
  • 23) 0,814 489 804 8 × 2 = 1 + 0,628 979 609 6;
  • 24) 0,628 979 609 6 × 2 = 1 + 0,257 959 219 2;
  • 25) 0,257 959 219 2 × 2 = 0 + 0,515 918 438 4;
  • 26) 0,515 918 438 4 × 2 = 1 + 0,031 836 876 8;
  • 27) 0,031 836 876 8 × 2 = 0 + 0,063 673 753 6;
  • 28) 0,063 673 753 6 × 2 = 0 + 0,127 347 507 2;
  • 29) 0,127 347 507 2 × 2 = 0 + 0,254 695 014 4;
  • 30) 0,254 695 014 4 × 2 = 0 + 0,509 390 028 8;
  • 31) 0,509 390 028 8 × 2 = 1 + 0,018 780 057 6;
  • 32) 0,018 780 057 6 × 2 = 0 + 0,037 560 115 2;
  • 33) 0,037 560 115 2 × 2 = 0 + 0,075 120 230 4;
  • 34) 0,075 120 230 4 × 2 = 0 + 0,150 240 460 8;
  • 35) 0,150 240 460 8 × 2 = 0 + 0,300 480 921 6;
  • 36) 0,300 480 921 6 × 2 = 0 + 0,600 961 843 2;
  • 37) 0,600 961 843 2 × 2 = 1 + 0,201 923 686 4;
  • 38) 0,201 923 686 4 × 2 = 0 + 0,403 847 372 8;
  • 39) 0,403 847 372 8 × 2 = 0 + 0,807 694 745 6;
  • 40) 0,807 694 745 6 × 2 = 1 + 0,615 389 491 2;
  • 41) 0,615 389 491 2 × 2 = 1 + 0,230 778 982 4;
  • 42) 0,230 778 982 4 × 2 = 0 + 0,461 557 964 8;
  • 43) 0,461 557 964 8 × 2 = 0 + 0,923 115 929 6;
  • 44) 0,923 115 929 6 × 2 = 1 + 0,846 231 859 2;
  • 45) 0,846 231 859 2 × 2 = 1 + 0,692 463 718 4;
  • 46) 0,692 463 718 4 × 2 = 1 + 0,384 927 436 8;
  • 47) 0,384 927 436 8 × 2 = 0 + 0,769 854 873 6;
  • 48) 0,769 854 873 6 × 2 = 1 + 0,539 709 747 2;
  • 49) 0,539 709 747 2 × 2 = 1 + 0,079 419 494 4;
  • 50) 0,079 419 494 4 × 2 = 0 + 0,158 838 988 8;
  • 51) 0,158 838 988 8 × 2 = 0 + 0,317 677 977 6;
  • 52) 0,317 677 977 6 × 2 = 0 + 0,635 355 955 2;
  • 53) 0,635 355 955 2 × 2 = 1 + 0,270 711 910 4;
  • 54) 0,270 711 910 4 × 2 = 0 + 0,541 423 820 8;
  • 55) 0,541 423 820 8 × 2 = 1 + 0,082 847 641 6;
  • 56) 0,082 847 641 6 × 2 = 0 + 0,165 695 283 2;
  • 57) 0,165 695 283 2 × 2 = 0 + 0,331 390 566 4;
  • 58) 0,331 390 566 4 × 2 = 0 + 0,662 781 132 8;
  • 59) 0,662 781 132 8 × 2 = 1 + 0,325 562 265 6;
  • 60) 0,325 562 265 6 × 2 = 0 + 0,651 124 531 2;
  • 61) 0,651 124 531 2 × 2 = 1 + 0,302 249 062 4;
  • 62) 0,302 249 062 4 × 2 = 0 + 0,604 498 124 8;
  • 63) 0,604 498 124 8 × 2 = 1 + 0,208 996 249 6;
  • 64) 0,208 996 249 6 × 2 = 0 + 0,417 992 499 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010 =

0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010


Numărul zecimal -0,000 282 004 95 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0010 0000 1001 1001 1101 1000 1010 0010 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 003 99 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100