-0,000 282 004 98 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 004 98(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 004 98(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 004 98| = 0,000 282 004 98


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 004 98.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 004 98 × 2 = 0 + 0,000 564 009 96;
  • 2) 0,000 564 009 96 × 2 = 0 + 0,001 128 019 92;
  • 3) 0,001 128 019 92 × 2 = 0 + 0,002 256 039 84;
  • 4) 0,002 256 039 84 × 2 = 0 + 0,004 512 079 68;
  • 5) 0,004 512 079 68 × 2 = 0 + 0,009 024 159 36;
  • 6) 0,009 024 159 36 × 2 = 0 + 0,018 048 318 72;
  • 7) 0,018 048 318 72 × 2 = 0 + 0,036 096 637 44;
  • 8) 0,036 096 637 44 × 2 = 0 + 0,072 193 274 88;
  • 9) 0,072 193 274 88 × 2 = 0 + 0,144 386 549 76;
  • 10) 0,144 386 549 76 × 2 = 0 + 0,288 773 099 52;
  • 11) 0,288 773 099 52 × 2 = 0 + 0,577 546 199 04;
  • 12) 0,577 546 199 04 × 2 = 1 + 0,155 092 398 08;
  • 13) 0,155 092 398 08 × 2 = 0 + 0,310 184 796 16;
  • 14) 0,310 184 796 16 × 2 = 0 + 0,620 369 592 32;
  • 15) 0,620 369 592 32 × 2 = 1 + 0,240 739 184 64;
  • 16) 0,240 739 184 64 × 2 = 0 + 0,481 478 369 28;
  • 17) 0,481 478 369 28 × 2 = 0 + 0,962 956 738 56;
  • 18) 0,962 956 738 56 × 2 = 1 + 0,925 913 477 12;
  • 19) 0,925 913 477 12 × 2 = 1 + 0,851 826 954 24;
  • 20) 0,851 826 954 24 × 2 = 1 + 0,703 653 908 48;
  • 21) 0,703 653 908 48 × 2 = 1 + 0,407 307 816 96;
  • 22) 0,407 307 816 96 × 2 = 0 + 0,814 615 633 92;
  • 23) 0,814 615 633 92 × 2 = 1 + 0,629 231 267 84;
  • 24) 0,629 231 267 84 × 2 = 1 + 0,258 462 535 68;
  • 25) 0,258 462 535 68 × 2 = 0 + 0,516 925 071 36;
  • 26) 0,516 925 071 36 × 2 = 1 + 0,033 850 142 72;
  • 27) 0,033 850 142 72 × 2 = 0 + 0,067 700 285 44;
  • 28) 0,067 700 285 44 × 2 = 0 + 0,135 400 570 88;
  • 29) 0,135 400 570 88 × 2 = 0 + 0,270 801 141 76;
  • 30) 0,270 801 141 76 × 2 = 0 + 0,541 602 283 52;
  • 31) 0,541 602 283 52 × 2 = 1 + 0,083 204 567 04;
  • 32) 0,083 204 567 04 × 2 = 0 + 0,166 409 134 08;
  • 33) 0,166 409 134 08 × 2 = 0 + 0,332 818 268 16;
  • 34) 0,332 818 268 16 × 2 = 0 + 0,665 636 536 32;
  • 35) 0,665 636 536 32 × 2 = 1 + 0,331 273 072 64;
  • 36) 0,331 273 072 64 × 2 = 0 + 0,662 546 145 28;
  • 37) 0,662 546 145 28 × 2 = 1 + 0,325 092 290 56;
  • 38) 0,325 092 290 56 × 2 = 0 + 0,650 184 581 12;
  • 39) 0,650 184 581 12 × 2 = 1 + 0,300 369 162 24;
  • 40) 0,300 369 162 24 × 2 = 0 + 0,600 738 324 48;
  • 41) 0,600 738 324 48 × 2 = 1 + 0,201 476 648 96;
  • 42) 0,201 476 648 96 × 2 = 0 + 0,402 953 297 92;
  • 43) 0,402 953 297 92 × 2 = 0 + 0,805 906 595 84;
  • 44) 0,805 906 595 84 × 2 = 1 + 0,611 813 191 68;
  • 45) 0,611 813 191 68 × 2 = 1 + 0,223 626 383 36;
  • 46) 0,223 626 383 36 × 2 = 0 + 0,447 252 766 72;
  • 47) 0,447 252 766 72 × 2 = 0 + 0,894 505 533 44;
  • 48) 0,894 505 533 44 × 2 = 1 + 0,789 011 066 88;
  • 49) 0,789 011 066 88 × 2 = 1 + 0,578 022 133 76;
  • 50) 0,578 022 133 76 × 2 = 1 + 0,156 044 267 52;
  • 51) 0,156 044 267 52 × 2 = 0 + 0,312 088 535 04;
  • 52) 0,312 088 535 04 × 2 = 0 + 0,624 177 070 08;
  • 53) 0,624 177 070 08 × 2 = 1 + 0,248 354 140 16;
  • 54) 0,248 354 140 16 × 2 = 0 + 0,496 708 280 32;
  • 55) 0,496 708 280 32 × 2 = 0 + 0,993 416 560 64;
  • 56) 0,993 416 560 64 × 2 = 1 + 0,986 833 121 28;
  • 57) 0,986 833 121 28 × 2 = 1 + 0,973 666 242 56;
  • 58) 0,973 666 242 56 × 2 = 1 + 0,947 332 485 12;
  • 59) 0,947 332 485 12 × 2 = 1 + 0,894 664 970 24;
  • 60) 0,894 664 970 24 × 2 = 1 + 0,789 329 940 48;
  • 61) 0,789 329 940 48 × 2 = 1 + 0,578 659 880 96;
  • 62) 0,578 659 880 96 × 2 = 1 + 0,157 319 761 92;
  • 63) 0,157 319 761 92 × 2 = 0 + 0,314 639 523 84;
  • 64) 0,314 639 523 84 × 2 = 0 + 0,629 279 047 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 004 98(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 004 98(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 004 98(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100 =

0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100


Numărul zecimal -0,000 282 004 98 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0010 0010 1010 1001 1001 1100 1001 1111 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 39 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100