-0,000 282 005 04 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 04(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 04(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 04| = 0,000 282 005 04


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 04.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 04 × 2 = 0 + 0,000 564 010 08;
  • 2) 0,000 564 010 08 × 2 = 0 + 0,001 128 020 16;
  • 3) 0,001 128 020 16 × 2 = 0 + 0,002 256 040 32;
  • 4) 0,002 256 040 32 × 2 = 0 + 0,004 512 080 64;
  • 5) 0,004 512 080 64 × 2 = 0 + 0,009 024 161 28;
  • 6) 0,009 024 161 28 × 2 = 0 + 0,018 048 322 56;
  • 7) 0,018 048 322 56 × 2 = 0 + 0,036 096 645 12;
  • 8) 0,036 096 645 12 × 2 = 0 + 0,072 193 290 24;
  • 9) 0,072 193 290 24 × 2 = 0 + 0,144 386 580 48;
  • 10) 0,144 386 580 48 × 2 = 0 + 0,288 773 160 96;
  • 11) 0,288 773 160 96 × 2 = 0 + 0,577 546 321 92;
  • 12) 0,577 546 321 92 × 2 = 1 + 0,155 092 643 84;
  • 13) 0,155 092 643 84 × 2 = 0 + 0,310 185 287 68;
  • 14) 0,310 185 287 68 × 2 = 0 + 0,620 370 575 36;
  • 15) 0,620 370 575 36 × 2 = 1 + 0,240 741 150 72;
  • 16) 0,240 741 150 72 × 2 = 0 + 0,481 482 301 44;
  • 17) 0,481 482 301 44 × 2 = 0 + 0,962 964 602 88;
  • 18) 0,962 964 602 88 × 2 = 1 + 0,925 929 205 76;
  • 19) 0,925 929 205 76 × 2 = 1 + 0,851 858 411 52;
  • 20) 0,851 858 411 52 × 2 = 1 + 0,703 716 823 04;
  • 21) 0,703 716 823 04 × 2 = 1 + 0,407 433 646 08;
  • 22) 0,407 433 646 08 × 2 = 0 + 0,814 867 292 16;
  • 23) 0,814 867 292 16 × 2 = 1 + 0,629 734 584 32;
  • 24) 0,629 734 584 32 × 2 = 1 + 0,259 469 168 64;
  • 25) 0,259 469 168 64 × 2 = 0 + 0,518 938 337 28;
  • 26) 0,518 938 337 28 × 2 = 1 + 0,037 876 674 56;
  • 27) 0,037 876 674 56 × 2 = 0 + 0,075 753 349 12;
  • 28) 0,075 753 349 12 × 2 = 0 + 0,151 506 698 24;
  • 29) 0,151 506 698 24 × 2 = 0 + 0,303 013 396 48;
  • 30) 0,303 013 396 48 × 2 = 0 + 0,606 026 792 96;
  • 31) 0,606 026 792 96 × 2 = 1 + 0,212 053 585 92;
  • 32) 0,212 053 585 92 × 2 = 0 + 0,424 107 171 84;
  • 33) 0,424 107 171 84 × 2 = 0 + 0,848 214 343 68;
  • 34) 0,848 214 343 68 × 2 = 1 + 0,696 428 687 36;
  • 35) 0,696 428 687 36 × 2 = 1 + 0,392 857 374 72;
  • 36) 0,392 857 374 72 × 2 = 0 + 0,785 714 749 44;
  • 37) 0,785 714 749 44 × 2 = 1 + 0,571 429 498 88;
  • 38) 0,571 429 498 88 × 2 = 1 + 0,142 858 997 76;
  • 39) 0,142 858 997 76 × 2 = 0 + 0,285 717 995 52;
  • 40) 0,285 717 995 52 × 2 = 0 + 0,571 435 991 04;
  • 41) 0,571 435 991 04 × 2 = 1 + 0,142 871 982 08;
  • 42) 0,142 871 982 08 × 2 = 0 + 0,285 743 964 16;
  • 43) 0,285 743 964 16 × 2 = 0 + 0,571 487 928 32;
  • 44) 0,571 487 928 32 × 2 = 1 + 0,142 975 856 64;
  • 45) 0,142 975 856 64 × 2 = 0 + 0,285 951 713 28;
  • 46) 0,285 951 713 28 × 2 = 0 + 0,571 903 426 56;
  • 47) 0,571 903 426 56 × 2 = 1 + 0,143 806 853 12;
  • 48) 0,143 806 853 12 × 2 = 0 + 0,287 613 706 24;
  • 49) 0,287 613 706 24 × 2 = 0 + 0,575 227 412 48;
  • 50) 0,575 227 412 48 × 2 = 1 + 0,150 454 824 96;
  • 51) 0,150 454 824 96 × 2 = 0 + 0,300 909 649 92;
  • 52) 0,300 909 649 92 × 2 = 0 + 0,601 819 299 84;
  • 53) 0,601 819 299 84 × 2 = 1 + 0,203 638 599 68;
  • 54) 0,203 638 599 68 × 2 = 0 + 0,407 277 199 36;
  • 55) 0,407 277 199 36 × 2 = 0 + 0,814 554 398 72;
  • 56) 0,814 554 398 72 × 2 = 1 + 0,629 108 797 44;
  • 57) 0,629 108 797 44 × 2 = 1 + 0,258 217 594 88;
  • 58) 0,258 217 594 88 × 2 = 0 + 0,516 435 189 76;
  • 59) 0,516 435 189 76 × 2 = 1 + 0,032 870 379 52;
  • 60) 0,032 870 379 52 × 2 = 0 + 0,065 740 759 04;
  • 61) 0,065 740 759 04 × 2 = 0 + 0,131 481 518 08;
  • 62) 0,131 481 518 08 × 2 = 0 + 0,262 963 036 16;
  • 63) 0,262 963 036 16 × 2 = 0 + 0,525 926 072 32;
  • 64) 0,525 926 072 32 × 2 = 1 + 0,051 852 144 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 04(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001 =

0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 04 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0010 0110 1100 1001 0010 0100 1001 1010 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 12 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100