-0,000 282 005 22 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 22(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 22(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 22| = 0,000 282 005 22


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 22.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 22 × 2 = 0 + 0,000 564 010 44;
  • 2) 0,000 564 010 44 × 2 = 0 + 0,001 128 020 88;
  • 3) 0,001 128 020 88 × 2 = 0 + 0,002 256 041 76;
  • 4) 0,002 256 041 76 × 2 = 0 + 0,004 512 083 52;
  • 5) 0,004 512 083 52 × 2 = 0 + 0,009 024 167 04;
  • 6) 0,009 024 167 04 × 2 = 0 + 0,018 048 334 08;
  • 7) 0,018 048 334 08 × 2 = 0 + 0,036 096 668 16;
  • 8) 0,036 096 668 16 × 2 = 0 + 0,072 193 336 32;
  • 9) 0,072 193 336 32 × 2 = 0 + 0,144 386 672 64;
  • 10) 0,144 386 672 64 × 2 = 0 + 0,288 773 345 28;
  • 11) 0,288 773 345 28 × 2 = 0 + 0,577 546 690 56;
  • 12) 0,577 546 690 56 × 2 = 1 + 0,155 093 381 12;
  • 13) 0,155 093 381 12 × 2 = 0 + 0,310 186 762 24;
  • 14) 0,310 186 762 24 × 2 = 0 + 0,620 373 524 48;
  • 15) 0,620 373 524 48 × 2 = 1 + 0,240 747 048 96;
  • 16) 0,240 747 048 96 × 2 = 0 + 0,481 494 097 92;
  • 17) 0,481 494 097 92 × 2 = 0 + 0,962 988 195 84;
  • 18) 0,962 988 195 84 × 2 = 1 + 0,925 976 391 68;
  • 19) 0,925 976 391 68 × 2 = 1 + 0,851 952 783 36;
  • 20) 0,851 952 783 36 × 2 = 1 + 0,703 905 566 72;
  • 21) 0,703 905 566 72 × 2 = 1 + 0,407 811 133 44;
  • 22) 0,407 811 133 44 × 2 = 0 + 0,815 622 266 88;
  • 23) 0,815 622 266 88 × 2 = 1 + 0,631 244 533 76;
  • 24) 0,631 244 533 76 × 2 = 1 + 0,262 489 067 52;
  • 25) 0,262 489 067 52 × 2 = 0 + 0,524 978 135 04;
  • 26) 0,524 978 135 04 × 2 = 1 + 0,049 956 270 08;
  • 27) 0,049 956 270 08 × 2 = 0 + 0,099 912 540 16;
  • 28) 0,099 912 540 16 × 2 = 0 + 0,199 825 080 32;
  • 29) 0,199 825 080 32 × 2 = 0 + 0,399 650 160 64;
  • 30) 0,399 650 160 64 × 2 = 0 + 0,799 300 321 28;
  • 31) 0,799 300 321 28 × 2 = 1 + 0,598 600 642 56;
  • 32) 0,598 600 642 56 × 2 = 1 + 0,197 201 285 12;
  • 33) 0,197 201 285 12 × 2 = 0 + 0,394 402 570 24;
  • 34) 0,394 402 570 24 × 2 = 0 + 0,788 805 140 48;
  • 35) 0,788 805 140 48 × 2 = 1 + 0,577 610 280 96;
  • 36) 0,577 610 280 96 × 2 = 1 + 0,155 220 561 92;
  • 37) 0,155 220 561 92 × 2 = 0 + 0,310 441 123 84;
  • 38) 0,310 441 123 84 × 2 = 0 + 0,620 882 247 68;
  • 39) 0,620 882 247 68 × 2 = 1 + 0,241 764 495 36;
  • 40) 0,241 764 495 36 × 2 = 0 + 0,483 528 990 72;
  • 41) 0,483 528 990 72 × 2 = 0 + 0,967 057 981 44;
  • 42) 0,967 057 981 44 × 2 = 1 + 0,934 115 962 88;
  • 43) 0,934 115 962 88 × 2 = 1 + 0,868 231 925 76;
  • 44) 0,868 231 925 76 × 2 = 1 + 0,736 463 851 52;
  • 45) 0,736 463 851 52 × 2 = 1 + 0,472 927 703 04;
  • 46) 0,472 927 703 04 × 2 = 0 + 0,945 855 406 08;
  • 47) 0,945 855 406 08 × 2 = 1 + 0,891 710 812 16;
  • 48) 0,891 710 812 16 × 2 = 1 + 0,783 421 624 32;
  • 49) 0,783 421 624 32 × 2 = 1 + 0,566 843 248 64;
  • 50) 0,566 843 248 64 × 2 = 1 + 0,133 686 497 28;
  • 51) 0,133 686 497 28 × 2 = 0 + 0,267 372 994 56;
  • 52) 0,267 372 994 56 × 2 = 0 + 0,534 745 989 12;
  • 53) 0,534 745 989 12 × 2 = 1 + 0,069 491 978 24;
  • 54) 0,069 491 978 24 × 2 = 0 + 0,138 983 956 48;
  • 55) 0,138 983 956 48 × 2 = 0 + 0,277 967 912 96;
  • 56) 0,277 967 912 96 × 2 = 0 + 0,555 935 825 92;
  • 57) 0,555 935 825 92 × 2 = 1 + 0,111 871 651 84;
  • 58) 0,111 871 651 84 × 2 = 0 + 0,223 743 303 68;
  • 59) 0,223 743 303 68 × 2 = 0 + 0,447 486 607 36;
  • 60) 0,447 486 607 36 × 2 = 0 + 0,894 973 214 72;
  • 61) 0,894 973 214 72 × 2 = 1 + 0,789 946 429 44;
  • 62) 0,789 946 429 44 × 2 = 1 + 0,579 892 858 88;
  • 63) 0,579 892 858 88 × 2 = 1 + 0,159 785 717 76;
  • 64) 0,159 785 717 76 × 2 = 0 + 0,319 571 435 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 22(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 22(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 22(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110 =

0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 22 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0011 0011 0010 0111 1011 1100 1000 1000 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 29 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100