-0,000 282 005 24 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 24(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 24(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 24| = 0,000 282 005 24


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 24.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 24 × 2 = 0 + 0,000 564 010 48;
  • 2) 0,000 564 010 48 × 2 = 0 + 0,001 128 020 96;
  • 3) 0,001 128 020 96 × 2 = 0 + 0,002 256 041 92;
  • 4) 0,002 256 041 92 × 2 = 0 + 0,004 512 083 84;
  • 5) 0,004 512 083 84 × 2 = 0 + 0,009 024 167 68;
  • 6) 0,009 024 167 68 × 2 = 0 + 0,018 048 335 36;
  • 7) 0,018 048 335 36 × 2 = 0 + 0,036 096 670 72;
  • 8) 0,036 096 670 72 × 2 = 0 + 0,072 193 341 44;
  • 9) 0,072 193 341 44 × 2 = 0 + 0,144 386 682 88;
  • 10) 0,144 386 682 88 × 2 = 0 + 0,288 773 365 76;
  • 11) 0,288 773 365 76 × 2 = 0 + 0,577 546 731 52;
  • 12) 0,577 546 731 52 × 2 = 1 + 0,155 093 463 04;
  • 13) 0,155 093 463 04 × 2 = 0 + 0,310 186 926 08;
  • 14) 0,310 186 926 08 × 2 = 0 + 0,620 373 852 16;
  • 15) 0,620 373 852 16 × 2 = 1 + 0,240 747 704 32;
  • 16) 0,240 747 704 32 × 2 = 0 + 0,481 495 408 64;
  • 17) 0,481 495 408 64 × 2 = 0 + 0,962 990 817 28;
  • 18) 0,962 990 817 28 × 2 = 1 + 0,925 981 634 56;
  • 19) 0,925 981 634 56 × 2 = 1 + 0,851 963 269 12;
  • 20) 0,851 963 269 12 × 2 = 1 + 0,703 926 538 24;
  • 21) 0,703 926 538 24 × 2 = 1 + 0,407 853 076 48;
  • 22) 0,407 853 076 48 × 2 = 0 + 0,815 706 152 96;
  • 23) 0,815 706 152 96 × 2 = 1 + 0,631 412 305 92;
  • 24) 0,631 412 305 92 × 2 = 1 + 0,262 824 611 84;
  • 25) 0,262 824 611 84 × 2 = 0 + 0,525 649 223 68;
  • 26) 0,525 649 223 68 × 2 = 1 + 0,051 298 447 36;
  • 27) 0,051 298 447 36 × 2 = 0 + 0,102 596 894 72;
  • 28) 0,102 596 894 72 × 2 = 0 + 0,205 193 789 44;
  • 29) 0,205 193 789 44 × 2 = 0 + 0,410 387 578 88;
  • 30) 0,410 387 578 88 × 2 = 0 + 0,820 775 157 76;
  • 31) 0,820 775 157 76 × 2 = 1 + 0,641 550 315 52;
  • 32) 0,641 550 315 52 × 2 = 1 + 0,283 100 631 04;
  • 33) 0,283 100 631 04 × 2 = 0 + 0,566 201 262 08;
  • 34) 0,566 201 262 08 × 2 = 1 + 0,132 402 524 16;
  • 35) 0,132 402 524 16 × 2 = 0 + 0,264 805 048 32;
  • 36) 0,264 805 048 32 × 2 = 0 + 0,529 610 096 64;
  • 37) 0,529 610 096 64 × 2 = 1 + 0,059 220 193 28;
  • 38) 0,059 220 193 28 × 2 = 0 + 0,118 440 386 56;
  • 39) 0,118 440 386 56 × 2 = 0 + 0,236 880 773 12;
  • 40) 0,236 880 773 12 × 2 = 0 + 0,473 761 546 24;
  • 41) 0,473 761 546 24 × 2 = 0 + 0,947 523 092 48;
  • 42) 0,947 523 092 48 × 2 = 1 + 0,895 046 184 96;
  • 43) 0,895 046 184 96 × 2 = 1 + 0,790 092 369 92;
  • 44) 0,790 092 369 92 × 2 = 1 + 0,580 184 739 84;
  • 45) 0,580 184 739 84 × 2 = 1 + 0,160 369 479 68;
  • 46) 0,160 369 479 68 × 2 = 0 + 0,320 738 959 36;
  • 47) 0,320 738 959 36 × 2 = 0 + 0,641 477 918 72;
  • 48) 0,641 477 918 72 × 2 = 1 + 0,282 955 837 44;
  • 49) 0,282 955 837 44 × 2 = 0 + 0,565 911 674 88;
  • 50) 0,565 911 674 88 × 2 = 1 + 0,131 823 349 76;
  • 51) 0,131 823 349 76 × 2 = 0 + 0,263 646 699 52;
  • 52) 0,263 646 699 52 × 2 = 0 + 0,527 293 399 04;
  • 53) 0,527 293 399 04 × 2 = 1 + 0,054 586 798 08;
  • 54) 0,054 586 798 08 × 2 = 0 + 0,109 173 596 16;
  • 55) 0,109 173 596 16 × 2 = 0 + 0,218 347 192 32;
  • 56) 0,218 347 192 32 × 2 = 0 + 0,436 694 384 64;
  • 57) 0,436 694 384 64 × 2 = 0 + 0,873 388 769 28;
  • 58) 0,873 388 769 28 × 2 = 1 + 0,746 777 538 56;
  • 59) 0,746 777 538 56 × 2 = 1 + 0,493 555 077 12;
  • 60) 0,493 555 077 12 × 2 = 0 + 0,987 110 154 24;
  • 61) 0,987 110 154 24 × 2 = 1 + 0,974 220 308 48;
  • 62) 0,974 220 308 48 × 2 = 1 + 0,948 440 616 96;
  • 63) 0,948 440 616 96 × 2 = 1 + 0,896 881 233 92;
  • 64) 0,896 881 233 92 × 2 = 1 + 0,793 762 467 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 24(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111 =

0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 24 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0011 0100 1000 0111 1001 0100 1000 0110 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 004 99 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100