-0,000 282 005 432 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 432(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 432(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 432| = 0,000 282 005 432


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 432.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 432 × 2 = 0 + 0,000 564 010 864;
  • 2) 0,000 564 010 864 × 2 = 0 + 0,001 128 021 728;
  • 3) 0,001 128 021 728 × 2 = 0 + 0,002 256 043 456;
  • 4) 0,002 256 043 456 × 2 = 0 + 0,004 512 086 912;
  • 5) 0,004 512 086 912 × 2 = 0 + 0,009 024 173 824;
  • 6) 0,009 024 173 824 × 2 = 0 + 0,018 048 347 648;
  • 7) 0,018 048 347 648 × 2 = 0 + 0,036 096 695 296;
  • 8) 0,036 096 695 296 × 2 = 0 + 0,072 193 390 592;
  • 9) 0,072 193 390 592 × 2 = 0 + 0,144 386 781 184;
  • 10) 0,144 386 781 184 × 2 = 0 + 0,288 773 562 368;
  • 11) 0,288 773 562 368 × 2 = 0 + 0,577 547 124 736;
  • 12) 0,577 547 124 736 × 2 = 1 + 0,155 094 249 472;
  • 13) 0,155 094 249 472 × 2 = 0 + 0,310 188 498 944;
  • 14) 0,310 188 498 944 × 2 = 0 + 0,620 376 997 888;
  • 15) 0,620 376 997 888 × 2 = 1 + 0,240 753 995 776;
  • 16) 0,240 753 995 776 × 2 = 0 + 0,481 507 991 552;
  • 17) 0,481 507 991 552 × 2 = 0 + 0,963 015 983 104;
  • 18) 0,963 015 983 104 × 2 = 1 + 0,926 031 966 208;
  • 19) 0,926 031 966 208 × 2 = 1 + 0,852 063 932 416;
  • 20) 0,852 063 932 416 × 2 = 1 + 0,704 127 864 832;
  • 21) 0,704 127 864 832 × 2 = 1 + 0,408 255 729 664;
  • 22) 0,408 255 729 664 × 2 = 0 + 0,816 511 459 328;
  • 23) 0,816 511 459 328 × 2 = 1 + 0,633 022 918 656;
  • 24) 0,633 022 918 656 × 2 = 1 + 0,266 045 837 312;
  • 25) 0,266 045 837 312 × 2 = 0 + 0,532 091 674 624;
  • 26) 0,532 091 674 624 × 2 = 1 + 0,064 183 349 248;
  • 27) 0,064 183 349 248 × 2 = 0 + 0,128 366 698 496;
  • 28) 0,128 366 698 496 × 2 = 0 + 0,256 733 396 992;
  • 29) 0,256 733 396 992 × 2 = 0 + 0,513 466 793 984;
  • 30) 0,513 466 793 984 × 2 = 1 + 0,026 933 587 968;
  • 31) 0,026 933 587 968 × 2 = 0 + 0,053 867 175 936;
  • 32) 0,053 867 175 936 × 2 = 0 + 0,107 734 351 872;
  • 33) 0,107 734 351 872 × 2 = 0 + 0,215 468 703 744;
  • 34) 0,215 468 703 744 × 2 = 0 + 0,430 937 407 488;
  • 35) 0,430 937 407 488 × 2 = 0 + 0,861 874 814 976;
  • 36) 0,861 874 814 976 × 2 = 1 + 0,723 749 629 952;
  • 37) 0,723 749 629 952 × 2 = 1 + 0,447 499 259 904;
  • 38) 0,447 499 259 904 × 2 = 0 + 0,894 998 519 808;
  • 39) 0,894 998 519 808 × 2 = 1 + 0,789 997 039 616;
  • 40) 0,789 997 039 616 × 2 = 1 + 0,579 994 079 232;
  • 41) 0,579 994 079 232 × 2 = 1 + 0,159 988 158 464;
  • 42) 0,159 988 158 464 × 2 = 0 + 0,319 976 316 928;
  • 43) 0,319 976 316 928 × 2 = 0 + 0,639 952 633 856;
  • 44) 0,639 952 633 856 × 2 = 1 + 0,279 905 267 712;
  • 45) 0,279 905 267 712 × 2 = 0 + 0,559 810 535 424;
  • 46) 0,559 810 535 424 × 2 = 1 + 0,119 621 070 848;
  • 47) 0,119 621 070 848 × 2 = 0 + 0,239 242 141 696;
  • 48) 0,239 242 141 696 × 2 = 0 + 0,478 484 283 392;
  • 49) 0,478 484 283 392 × 2 = 0 + 0,956 968 566 784;
  • 50) 0,956 968 566 784 × 2 = 1 + 0,913 937 133 568;
  • 51) 0,913 937 133 568 × 2 = 1 + 0,827 874 267 136;
  • 52) 0,827 874 267 136 × 2 = 1 + 0,655 748 534 272;
  • 53) 0,655 748 534 272 × 2 = 1 + 0,311 497 068 544;
  • 54) 0,311 497 068 544 × 2 = 0 + 0,622 994 137 088;
  • 55) 0,622 994 137 088 × 2 = 1 + 0,245 988 274 176;
  • 56) 0,245 988 274 176 × 2 = 0 + 0,491 976 548 352;
  • 57) 0,491 976 548 352 × 2 = 0 + 0,983 953 096 704;
  • 58) 0,983 953 096 704 × 2 = 1 + 0,967 906 193 408;
  • 59) 0,967 906 193 408 × 2 = 1 + 0,935 812 386 816;
  • 60) 0,935 812 386 816 × 2 = 1 + 0,871 624 773 632;
  • 61) 0,871 624 773 632 × 2 = 1 + 0,743 249 547 264;
  • 62) 0,743 249 547 264 × 2 = 1 + 0,486 499 094 528;
  • 63) 0,486 499 094 528 × 2 = 0 + 0,972 998 189 056;
  • 64) 0,972 998 189 056 × 2 = 1 + 0,945 996 378 112;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 432(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 432(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 432(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101 =

0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 432 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0100 0001 1011 1001 0100 0111 1010 0111 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 453 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100