-0,000 282 005 471 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 471(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 471(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 471| = 0,000 282 005 471


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 471.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 471 × 2 = 0 + 0,000 564 010 942;
  • 2) 0,000 564 010 942 × 2 = 0 + 0,001 128 021 884;
  • 3) 0,001 128 021 884 × 2 = 0 + 0,002 256 043 768;
  • 4) 0,002 256 043 768 × 2 = 0 + 0,004 512 087 536;
  • 5) 0,004 512 087 536 × 2 = 0 + 0,009 024 175 072;
  • 6) 0,009 024 175 072 × 2 = 0 + 0,018 048 350 144;
  • 7) 0,018 048 350 144 × 2 = 0 + 0,036 096 700 288;
  • 8) 0,036 096 700 288 × 2 = 0 + 0,072 193 400 576;
  • 9) 0,072 193 400 576 × 2 = 0 + 0,144 386 801 152;
  • 10) 0,144 386 801 152 × 2 = 0 + 0,288 773 602 304;
  • 11) 0,288 773 602 304 × 2 = 0 + 0,577 547 204 608;
  • 12) 0,577 547 204 608 × 2 = 1 + 0,155 094 409 216;
  • 13) 0,155 094 409 216 × 2 = 0 + 0,310 188 818 432;
  • 14) 0,310 188 818 432 × 2 = 0 + 0,620 377 636 864;
  • 15) 0,620 377 636 864 × 2 = 1 + 0,240 755 273 728;
  • 16) 0,240 755 273 728 × 2 = 0 + 0,481 510 547 456;
  • 17) 0,481 510 547 456 × 2 = 0 + 0,963 021 094 912;
  • 18) 0,963 021 094 912 × 2 = 1 + 0,926 042 189 824;
  • 19) 0,926 042 189 824 × 2 = 1 + 0,852 084 379 648;
  • 20) 0,852 084 379 648 × 2 = 1 + 0,704 168 759 296;
  • 21) 0,704 168 759 296 × 2 = 1 + 0,408 337 518 592;
  • 22) 0,408 337 518 592 × 2 = 0 + 0,816 675 037 184;
  • 23) 0,816 675 037 184 × 2 = 1 + 0,633 350 074 368;
  • 24) 0,633 350 074 368 × 2 = 1 + 0,266 700 148 736;
  • 25) 0,266 700 148 736 × 2 = 0 + 0,533 400 297 472;
  • 26) 0,533 400 297 472 × 2 = 1 + 0,066 800 594 944;
  • 27) 0,066 800 594 944 × 2 = 0 + 0,133 601 189 888;
  • 28) 0,133 601 189 888 × 2 = 0 + 0,267 202 379 776;
  • 29) 0,267 202 379 776 × 2 = 0 + 0,534 404 759 552;
  • 30) 0,534 404 759 552 × 2 = 1 + 0,068 809 519 104;
  • 31) 0,068 809 519 104 × 2 = 0 + 0,137 619 038 208;
  • 32) 0,137 619 038 208 × 2 = 0 + 0,275 238 076 416;
  • 33) 0,275 238 076 416 × 2 = 0 + 0,550 476 152 832;
  • 34) 0,550 476 152 832 × 2 = 1 + 0,100 952 305 664;
  • 35) 0,100 952 305 664 × 2 = 0 + 0,201 904 611 328;
  • 36) 0,201 904 611 328 × 2 = 0 + 0,403 809 222 656;
  • 37) 0,403 809 222 656 × 2 = 0 + 0,807 618 445 312;
  • 38) 0,807 618 445 312 × 2 = 1 + 0,615 236 890 624;
  • 39) 0,615 236 890 624 × 2 = 1 + 0,230 473 781 248;
  • 40) 0,230 473 781 248 × 2 = 0 + 0,460 947 562 496;
  • 41) 0,460 947 562 496 × 2 = 0 + 0,921 895 124 992;
  • 42) 0,921 895 124 992 × 2 = 1 + 0,843 790 249 984;
  • 43) 0,843 790 249 984 × 2 = 1 + 0,687 580 499 968;
  • 44) 0,687 580 499 968 × 2 = 1 + 0,375 160 999 936;
  • 45) 0,375 160 999 936 × 2 = 0 + 0,750 321 999 872;
  • 46) 0,750 321 999 872 × 2 = 1 + 0,500 643 999 744;
  • 47) 0,500 643 999 744 × 2 = 1 + 0,001 287 999 488;
  • 48) 0,001 287 999 488 × 2 = 0 + 0,002 575 998 976;
  • 49) 0,002 575 998 976 × 2 = 0 + 0,005 151 997 952;
  • 50) 0,005 151 997 952 × 2 = 0 + 0,010 303 995 904;
  • 51) 0,010 303 995 904 × 2 = 0 + 0,020 607 991 808;
  • 52) 0,020 607 991 808 × 2 = 0 + 0,041 215 983 616;
  • 53) 0,041 215 983 616 × 2 = 0 + 0,082 431 967 232;
  • 54) 0,082 431 967 232 × 2 = 0 + 0,164 863 934 464;
  • 55) 0,164 863 934 464 × 2 = 0 + 0,329 727 868 928;
  • 56) 0,329 727 868 928 × 2 = 0 + 0,659 455 737 856;
  • 57) 0,659 455 737 856 × 2 = 1 + 0,318 911 475 712;
  • 58) 0,318 911 475 712 × 2 = 0 + 0,637 822 951 424;
  • 59) 0,637 822 951 424 × 2 = 1 + 0,275 645 902 848;
  • 60) 0,275 645 902 848 × 2 = 0 + 0,551 291 805 696;
  • 61) 0,551 291 805 696 × 2 = 1 + 0,102 583 611 392;
  • 62) 0,102 583 611 392 × 2 = 0 + 0,205 167 222 784;
  • 63) 0,205 167 222 784 × 2 = 0 + 0,410 334 445 568;
  • 64) 0,410 334 445 568 × 2 = 0 + 0,820 668 891 136;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 471(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 471(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 471(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000 =

0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 471 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0100 0100 0110 0111 0110 0000 0000 1010 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 561 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100