-0,000 282 005 508 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 508(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 508(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 508| = 0,000 282 005 508


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 508.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 508 × 2 = 0 + 0,000 564 011 016;
  • 2) 0,000 564 011 016 × 2 = 0 + 0,001 128 022 032;
  • 3) 0,001 128 022 032 × 2 = 0 + 0,002 256 044 064;
  • 4) 0,002 256 044 064 × 2 = 0 + 0,004 512 088 128;
  • 5) 0,004 512 088 128 × 2 = 0 + 0,009 024 176 256;
  • 6) 0,009 024 176 256 × 2 = 0 + 0,018 048 352 512;
  • 7) 0,018 048 352 512 × 2 = 0 + 0,036 096 705 024;
  • 8) 0,036 096 705 024 × 2 = 0 + 0,072 193 410 048;
  • 9) 0,072 193 410 048 × 2 = 0 + 0,144 386 820 096;
  • 10) 0,144 386 820 096 × 2 = 0 + 0,288 773 640 192;
  • 11) 0,288 773 640 192 × 2 = 0 + 0,577 547 280 384;
  • 12) 0,577 547 280 384 × 2 = 1 + 0,155 094 560 768;
  • 13) 0,155 094 560 768 × 2 = 0 + 0,310 189 121 536;
  • 14) 0,310 189 121 536 × 2 = 0 + 0,620 378 243 072;
  • 15) 0,620 378 243 072 × 2 = 1 + 0,240 756 486 144;
  • 16) 0,240 756 486 144 × 2 = 0 + 0,481 512 972 288;
  • 17) 0,481 512 972 288 × 2 = 0 + 0,963 025 944 576;
  • 18) 0,963 025 944 576 × 2 = 1 + 0,926 051 889 152;
  • 19) 0,926 051 889 152 × 2 = 1 + 0,852 103 778 304;
  • 20) 0,852 103 778 304 × 2 = 1 + 0,704 207 556 608;
  • 21) 0,704 207 556 608 × 2 = 1 + 0,408 415 113 216;
  • 22) 0,408 415 113 216 × 2 = 0 + 0,816 830 226 432;
  • 23) 0,816 830 226 432 × 2 = 1 + 0,633 660 452 864;
  • 24) 0,633 660 452 864 × 2 = 1 + 0,267 320 905 728;
  • 25) 0,267 320 905 728 × 2 = 0 + 0,534 641 811 456;
  • 26) 0,534 641 811 456 × 2 = 1 + 0,069 283 622 912;
  • 27) 0,069 283 622 912 × 2 = 0 + 0,138 567 245 824;
  • 28) 0,138 567 245 824 × 2 = 0 + 0,277 134 491 648;
  • 29) 0,277 134 491 648 × 2 = 0 + 0,554 268 983 296;
  • 30) 0,554 268 983 296 × 2 = 1 + 0,108 537 966 592;
  • 31) 0,108 537 966 592 × 2 = 0 + 0,217 075 933 184;
  • 32) 0,217 075 933 184 × 2 = 0 + 0,434 151 866 368;
  • 33) 0,434 151 866 368 × 2 = 0 + 0,868 303 732 736;
  • 34) 0,868 303 732 736 × 2 = 1 + 0,736 607 465 472;
  • 35) 0,736 607 465 472 × 2 = 1 + 0,473 214 930 944;
  • 36) 0,473 214 930 944 × 2 = 0 + 0,946 429 861 888;
  • 37) 0,946 429 861 888 × 2 = 1 + 0,892 859 723 776;
  • 38) 0,892 859 723 776 × 2 = 1 + 0,785 719 447 552;
  • 39) 0,785 719 447 552 × 2 = 1 + 0,571 438 895 104;
  • 40) 0,571 438 895 104 × 2 = 1 + 0,142 877 790 208;
  • 41) 0,142 877 790 208 × 2 = 0 + 0,285 755 580 416;
  • 42) 0,285 755 580 416 × 2 = 0 + 0,571 511 160 832;
  • 43) 0,571 511 160 832 × 2 = 1 + 0,143 022 321 664;
  • 44) 0,143 022 321 664 × 2 = 0 + 0,286 044 643 328;
  • 45) 0,286 044 643 328 × 2 = 0 + 0,572 089 286 656;
  • 46) 0,572 089 286 656 × 2 = 1 + 0,144 178 573 312;
  • 47) 0,144 178 573 312 × 2 = 0 + 0,288 357 146 624;
  • 48) 0,288 357 146 624 × 2 = 0 + 0,576 714 293 248;
  • 49) 0,576 714 293 248 × 2 = 1 + 0,153 428 586 496;
  • 50) 0,153 428 586 496 × 2 = 0 + 0,306 857 172 992;
  • 51) 0,306 857 172 992 × 2 = 0 + 0,613 714 345 984;
  • 52) 0,613 714 345 984 × 2 = 1 + 0,227 428 691 968;
  • 53) 0,227 428 691 968 × 2 = 0 + 0,454 857 383 936;
  • 54) 0,454 857 383 936 × 2 = 0 + 0,909 714 767 872;
  • 55) 0,909 714 767 872 × 2 = 1 + 0,819 429 535 744;
  • 56) 0,819 429 535 744 × 2 = 1 + 0,638 859 071 488;
  • 57) 0,638 859 071 488 × 2 = 1 + 0,277 718 142 976;
  • 58) 0,277 718 142 976 × 2 = 0 + 0,555 436 285 952;
  • 59) 0,555 436 285 952 × 2 = 1 + 0,110 872 571 904;
  • 60) 0,110 872 571 904 × 2 = 0 + 0,221 745 143 808;
  • 61) 0,221 745 143 808 × 2 = 0 + 0,443 490 287 616;
  • 62) 0,443 490 287 616 × 2 = 0 + 0,886 980 575 232;
  • 63) 0,886 980 575 232 × 2 = 1 + 0,773 961 150 464;
  • 64) 0,773 961 150 464 × 2 = 1 + 0,547 922 300 928;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 508(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 508(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 508(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011 =

0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 508 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0100 0110 1111 0010 0100 1001 0011 1010 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 55 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100