-0,000 282 005 516 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 516(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 516(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 516| = 0,000 282 005 516


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 516.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 516 × 2 = 0 + 0,000 564 011 032;
  • 2) 0,000 564 011 032 × 2 = 0 + 0,001 128 022 064;
  • 3) 0,001 128 022 064 × 2 = 0 + 0,002 256 044 128;
  • 4) 0,002 256 044 128 × 2 = 0 + 0,004 512 088 256;
  • 5) 0,004 512 088 256 × 2 = 0 + 0,009 024 176 512;
  • 6) 0,009 024 176 512 × 2 = 0 + 0,018 048 353 024;
  • 7) 0,018 048 353 024 × 2 = 0 + 0,036 096 706 048;
  • 8) 0,036 096 706 048 × 2 = 0 + 0,072 193 412 096;
  • 9) 0,072 193 412 096 × 2 = 0 + 0,144 386 824 192;
  • 10) 0,144 386 824 192 × 2 = 0 + 0,288 773 648 384;
  • 11) 0,288 773 648 384 × 2 = 0 + 0,577 547 296 768;
  • 12) 0,577 547 296 768 × 2 = 1 + 0,155 094 593 536;
  • 13) 0,155 094 593 536 × 2 = 0 + 0,310 189 187 072;
  • 14) 0,310 189 187 072 × 2 = 0 + 0,620 378 374 144;
  • 15) 0,620 378 374 144 × 2 = 1 + 0,240 756 748 288;
  • 16) 0,240 756 748 288 × 2 = 0 + 0,481 513 496 576;
  • 17) 0,481 513 496 576 × 2 = 0 + 0,963 026 993 152;
  • 18) 0,963 026 993 152 × 2 = 1 + 0,926 053 986 304;
  • 19) 0,926 053 986 304 × 2 = 1 + 0,852 107 972 608;
  • 20) 0,852 107 972 608 × 2 = 1 + 0,704 215 945 216;
  • 21) 0,704 215 945 216 × 2 = 1 + 0,408 431 890 432;
  • 22) 0,408 431 890 432 × 2 = 0 + 0,816 863 780 864;
  • 23) 0,816 863 780 864 × 2 = 1 + 0,633 727 561 728;
  • 24) 0,633 727 561 728 × 2 = 1 + 0,267 455 123 456;
  • 25) 0,267 455 123 456 × 2 = 0 + 0,534 910 246 912;
  • 26) 0,534 910 246 912 × 2 = 1 + 0,069 820 493 824;
  • 27) 0,069 820 493 824 × 2 = 0 + 0,139 640 987 648;
  • 28) 0,139 640 987 648 × 2 = 0 + 0,279 281 975 296;
  • 29) 0,279 281 975 296 × 2 = 0 + 0,558 563 950 592;
  • 30) 0,558 563 950 592 × 2 = 1 + 0,117 127 901 184;
  • 31) 0,117 127 901 184 × 2 = 0 + 0,234 255 802 368;
  • 32) 0,234 255 802 368 × 2 = 0 + 0,468 511 604 736;
  • 33) 0,468 511 604 736 × 2 = 0 + 0,937 023 209 472;
  • 34) 0,937 023 209 472 × 2 = 1 + 0,874 046 418 944;
  • 35) 0,874 046 418 944 × 2 = 1 + 0,748 092 837 888;
  • 36) 0,748 092 837 888 × 2 = 1 + 0,496 185 675 776;
  • 37) 0,496 185 675 776 × 2 = 0 + 0,992 371 351 552;
  • 38) 0,992 371 351 552 × 2 = 1 + 0,984 742 703 104;
  • 39) 0,984 742 703 104 × 2 = 1 + 0,969 485 406 208;
  • 40) 0,969 485 406 208 × 2 = 1 + 0,938 970 812 416;
  • 41) 0,938 970 812 416 × 2 = 1 + 0,877 941 624 832;
  • 42) 0,877 941 624 832 × 2 = 1 + 0,755 883 249 664;
  • 43) 0,755 883 249 664 × 2 = 1 + 0,511 766 499 328;
  • 44) 0,511 766 499 328 × 2 = 1 + 0,023 532 998 656;
  • 45) 0,023 532 998 656 × 2 = 0 + 0,047 065 997 312;
  • 46) 0,047 065 997 312 × 2 = 0 + 0,094 131 994 624;
  • 47) 0,094 131 994 624 × 2 = 0 + 0,188 263 989 248;
  • 48) 0,188 263 989 248 × 2 = 0 + 0,376 527 978 496;
  • 49) 0,376 527 978 496 × 2 = 0 + 0,753 055 956 992;
  • 50) 0,753 055 956 992 × 2 = 1 + 0,506 111 913 984;
  • 51) 0,506 111 913 984 × 2 = 1 + 0,012 223 827 968;
  • 52) 0,012 223 827 968 × 2 = 0 + 0,024 447 655 936;
  • 53) 0,024 447 655 936 × 2 = 0 + 0,048 895 311 872;
  • 54) 0,048 895 311 872 × 2 = 0 + 0,097 790 623 744;
  • 55) 0,097 790 623 744 × 2 = 0 + 0,195 581 247 488;
  • 56) 0,195 581 247 488 × 2 = 0 + 0,391 162 494 976;
  • 57) 0,391 162 494 976 × 2 = 0 + 0,782 324 989 952;
  • 58) 0,782 324 989 952 × 2 = 1 + 0,564 649 979 904;
  • 59) 0,564 649 979 904 × 2 = 1 + 0,129 299 959 808;
  • 60) 0,129 299 959 808 × 2 = 0 + 0,258 599 919 616;
  • 61) 0,258 599 919 616 × 2 = 0 + 0,517 199 839 232;
  • 62) 0,517 199 839 232 × 2 = 1 + 0,034 399 678 464;
  • 63) 0,034 399 678 464 × 2 = 0 + 0,068 799 356 928;
  • 64) 0,068 799 356 928 × 2 = 0 + 0,137 598 713 856;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 516(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 516(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 516(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100 =

0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 516 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0100 0111 0111 1111 0000 0110 0000 0110 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100