-0,000 282 005 525 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 525(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 525(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 525| = 0,000 282 005 525


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 525.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 525 × 2 = 0 + 0,000 564 011 05;
  • 2) 0,000 564 011 05 × 2 = 0 + 0,001 128 022 1;
  • 3) 0,001 128 022 1 × 2 = 0 + 0,002 256 044 2;
  • 4) 0,002 256 044 2 × 2 = 0 + 0,004 512 088 4;
  • 5) 0,004 512 088 4 × 2 = 0 + 0,009 024 176 8;
  • 6) 0,009 024 176 8 × 2 = 0 + 0,018 048 353 6;
  • 7) 0,018 048 353 6 × 2 = 0 + 0,036 096 707 2;
  • 8) 0,036 096 707 2 × 2 = 0 + 0,072 193 414 4;
  • 9) 0,072 193 414 4 × 2 = 0 + 0,144 386 828 8;
  • 10) 0,144 386 828 8 × 2 = 0 + 0,288 773 657 6;
  • 11) 0,288 773 657 6 × 2 = 0 + 0,577 547 315 2;
  • 12) 0,577 547 315 2 × 2 = 1 + 0,155 094 630 4;
  • 13) 0,155 094 630 4 × 2 = 0 + 0,310 189 260 8;
  • 14) 0,310 189 260 8 × 2 = 0 + 0,620 378 521 6;
  • 15) 0,620 378 521 6 × 2 = 1 + 0,240 757 043 2;
  • 16) 0,240 757 043 2 × 2 = 0 + 0,481 514 086 4;
  • 17) 0,481 514 086 4 × 2 = 0 + 0,963 028 172 8;
  • 18) 0,963 028 172 8 × 2 = 1 + 0,926 056 345 6;
  • 19) 0,926 056 345 6 × 2 = 1 + 0,852 112 691 2;
  • 20) 0,852 112 691 2 × 2 = 1 + 0,704 225 382 4;
  • 21) 0,704 225 382 4 × 2 = 1 + 0,408 450 764 8;
  • 22) 0,408 450 764 8 × 2 = 0 + 0,816 901 529 6;
  • 23) 0,816 901 529 6 × 2 = 1 + 0,633 803 059 2;
  • 24) 0,633 803 059 2 × 2 = 1 + 0,267 606 118 4;
  • 25) 0,267 606 118 4 × 2 = 0 + 0,535 212 236 8;
  • 26) 0,535 212 236 8 × 2 = 1 + 0,070 424 473 6;
  • 27) 0,070 424 473 6 × 2 = 0 + 0,140 848 947 2;
  • 28) 0,140 848 947 2 × 2 = 0 + 0,281 697 894 4;
  • 29) 0,281 697 894 4 × 2 = 0 + 0,563 395 788 8;
  • 30) 0,563 395 788 8 × 2 = 1 + 0,126 791 577 6;
  • 31) 0,126 791 577 6 × 2 = 0 + 0,253 583 155 2;
  • 32) 0,253 583 155 2 × 2 = 0 + 0,507 166 310 4;
  • 33) 0,507 166 310 4 × 2 = 1 + 0,014 332 620 8;
  • 34) 0,014 332 620 8 × 2 = 0 + 0,028 665 241 6;
  • 35) 0,028 665 241 6 × 2 = 0 + 0,057 330 483 2;
  • 36) 0,057 330 483 2 × 2 = 0 + 0,114 660 966 4;
  • 37) 0,114 660 966 4 × 2 = 0 + 0,229 321 932 8;
  • 38) 0,229 321 932 8 × 2 = 0 + 0,458 643 865 6;
  • 39) 0,458 643 865 6 × 2 = 0 + 0,917 287 731 2;
  • 40) 0,917 287 731 2 × 2 = 1 + 0,834 575 462 4;
  • 41) 0,834 575 462 4 × 2 = 1 + 0,669 150 924 8;
  • 42) 0,669 150 924 8 × 2 = 1 + 0,338 301 849 6;
  • 43) 0,338 301 849 6 × 2 = 0 + 0,676 603 699 2;
  • 44) 0,676 603 699 2 × 2 = 1 + 0,353 207 398 4;
  • 45) 0,353 207 398 4 × 2 = 0 + 0,706 414 796 8;
  • 46) 0,706 414 796 8 × 2 = 1 + 0,412 829 593 6;
  • 47) 0,412 829 593 6 × 2 = 0 + 0,825 659 187 2;
  • 48) 0,825 659 187 2 × 2 = 1 + 0,651 318 374 4;
  • 49) 0,651 318 374 4 × 2 = 1 + 0,302 636 748 8;
  • 50) 0,302 636 748 8 × 2 = 0 + 0,605 273 497 6;
  • 51) 0,605 273 497 6 × 2 = 1 + 0,210 546 995 2;
  • 52) 0,210 546 995 2 × 2 = 0 + 0,421 093 990 4;
  • 53) 0,421 093 990 4 × 2 = 0 + 0,842 187 980 8;
  • 54) 0,842 187 980 8 × 2 = 1 + 0,684 375 961 6;
  • 55) 0,684 375 961 6 × 2 = 1 + 0,368 751 923 2;
  • 56) 0,368 751 923 2 × 2 = 0 + 0,737 503 846 4;
  • 57) 0,737 503 846 4 × 2 = 1 + 0,475 007 692 8;
  • 58) 0,475 007 692 8 × 2 = 0 + 0,950 015 385 6;
  • 59) 0,950 015 385 6 × 2 = 1 + 0,900 030 771 2;
  • 60) 0,900 030 771 2 × 2 = 1 + 0,800 061 542 4;
  • 61) 0,800 061 542 4 × 2 = 1 + 0,600 123 084 8;
  • 62) 0,600 123 084 8 × 2 = 1 + 0,200 246 169 6;
  • 63) 0,200 246 169 6 × 2 = 0 + 0,400 492 339 2;
  • 64) 0,400 492 339 2 × 2 = 0 + 0,800 984 678 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 525(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 525(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 525(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100 =

0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 525 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0100 1000 0001 1101 0101 1010 0110 1011 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 568 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100