-0,000 282 005 549 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 549(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 549(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 549| = 0,000 282 005 549


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 549.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 549 × 2 = 0 + 0,000 564 011 098;
  • 2) 0,000 564 011 098 × 2 = 0 + 0,001 128 022 196;
  • 3) 0,001 128 022 196 × 2 = 0 + 0,002 256 044 392;
  • 4) 0,002 256 044 392 × 2 = 0 + 0,004 512 088 784;
  • 5) 0,004 512 088 784 × 2 = 0 + 0,009 024 177 568;
  • 6) 0,009 024 177 568 × 2 = 0 + 0,018 048 355 136;
  • 7) 0,018 048 355 136 × 2 = 0 + 0,036 096 710 272;
  • 8) 0,036 096 710 272 × 2 = 0 + 0,072 193 420 544;
  • 9) 0,072 193 420 544 × 2 = 0 + 0,144 386 841 088;
  • 10) 0,144 386 841 088 × 2 = 0 + 0,288 773 682 176;
  • 11) 0,288 773 682 176 × 2 = 0 + 0,577 547 364 352;
  • 12) 0,577 547 364 352 × 2 = 1 + 0,155 094 728 704;
  • 13) 0,155 094 728 704 × 2 = 0 + 0,310 189 457 408;
  • 14) 0,310 189 457 408 × 2 = 0 + 0,620 378 914 816;
  • 15) 0,620 378 914 816 × 2 = 1 + 0,240 757 829 632;
  • 16) 0,240 757 829 632 × 2 = 0 + 0,481 515 659 264;
  • 17) 0,481 515 659 264 × 2 = 0 + 0,963 031 318 528;
  • 18) 0,963 031 318 528 × 2 = 1 + 0,926 062 637 056;
  • 19) 0,926 062 637 056 × 2 = 1 + 0,852 125 274 112;
  • 20) 0,852 125 274 112 × 2 = 1 + 0,704 250 548 224;
  • 21) 0,704 250 548 224 × 2 = 1 + 0,408 501 096 448;
  • 22) 0,408 501 096 448 × 2 = 0 + 0,817 002 192 896;
  • 23) 0,817 002 192 896 × 2 = 1 + 0,634 004 385 792;
  • 24) 0,634 004 385 792 × 2 = 1 + 0,268 008 771 584;
  • 25) 0,268 008 771 584 × 2 = 0 + 0,536 017 543 168;
  • 26) 0,536 017 543 168 × 2 = 1 + 0,072 035 086 336;
  • 27) 0,072 035 086 336 × 2 = 0 + 0,144 070 172 672;
  • 28) 0,144 070 172 672 × 2 = 0 + 0,288 140 345 344;
  • 29) 0,288 140 345 344 × 2 = 0 + 0,576 280 690 688;
  • 30) 0,576 280 690 688 × 2 = 1 + 0,152 561 381 376;
  • 31) 0,152 561 381 376 × 2 = 0 + 0,305 122 762 752;
  • 32) 0,305 122 762 752 × 2 = 0 + 0,610 245 525 504;
  • 33) 0,610 245 525 504 × 2 = 1 + 0,220 491 051 008;
  • 34) 0,220 491 051 008 × 2 = 0 + 0,440 982 102 016;
  • 35) 0,440 982 102 016 × 2 = 0 + 0,881 964 204 032;
  • 36) 0,881 964 204 032 × 2 = 1 + 0,763 928 408 064;
  • 37) 0,763 928 408 064 × 2 = 1 + 0,527 856 816 128;
  • 38) 0,527 856 816 128 × 2 = 1 + 0,055 713 632 256;
  • 39) 0,055 713 632 256 × 2 = 0 + 0,111 427 264 512;
  • 40) 0,111 427 264 512 × 2 = 0 + 0,222 854 529 024;
  • 41) 0,222 854 529 024 × 2 = 0 + 0,445 709 058 048;
  • 42) 0,445 709 058 048 × 2 = 0 + 0,891 418 116 096;
  • 43) 0,891 418 116 096 × 2 = 1 + 0,782 836 232 192;
  • 44) 0,782 836 232 192 × 2 = 1 + 0,565 672 464 384;
  • 45) 0,565 672 464 384 × 2 = 1 + 0,131 344 928 768;
  • 46) 0,131 344 928 768 × 2 = 0 + 0,262 689 857 536;
  • 47) 0,262 689 857 536 × 2 = 0 + 0,525 379 715 072;
  • 48) 0,525 379 715 072 × 2 = 1 + 0,050 759 430 144;
  • 49) 0,050 759 430 144 × 2 = 0 + 0,101 518 860 288;
  • 50) 0,101 518 860 288 × 2 = 0 + 0,203 037 720 576;
  • 51) 0,203 037 720 576 × 2 = 0 + 0,406 075 441 152;
  • 52) 0,406 075 441 152 × 2 = 0 + 0,812 150 882 304;
  • 53) 0,812 150 882 304 × 2 = 1 + 0,624 301 764 608;
  • 54) 0,624 301 764 608 × 2 = 1 + 0,248 603 529 216;
  • 55) 0,248 603 529 216 × 2 = 0 + 0,497 207 058 432;
  • 56) 0,497 207 058 432 × 2 = 0 + 0,994 414 116 864;
  • 57) 0,994 414 116 864 × 2 = 1 + 0,988 828 233 728;
  • 58) 0,988 828 233 728 × 2 = 1 + 0,977 656 467 456;
  • 59) 0,977 656 467 456 × 2 = 1 + 0,955 312 934 912;
  • 60) 0,955 312 934 912 × 2 = 1 + 0,910 625 869 824;
  • 61) 0,910 625 869 824 × 2 = 1 + 0,821 251 739 648;
  • 62) 0,821 251 739 648 × 2 = 1 + 0,642 503 479 296;
  • 63) 0,642 503 479 296 × 2 = 1 + 0,285 006 958 592;
  • 64) 0,285 006 958 592 × 2 = 0 + 0,570 013 917 184;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 549(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 549(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 549(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110 =

0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 549 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0100 1001 1100 0011 1001 0000 1100 1111 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 612 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100