-0,000 282 005 609 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 609(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 609(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 609| = 0,000 282 005 609


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 609.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 609 × 2 = 0 + 0,000 564 011 218;
  • 2) 0,000 564 011 218 × 2 = 0 + 0,001 128 022 436;
  • 3) 0,001 128 022 436 × 2 = 0 + 0,002 256 044 872;
  • 4) 0,002 256 044 872 × 2 = 0 + 0,004 512 089 744;
  • 5) 0,004 512 089 744 × 2 = 0 + 0,009 024 179 488;
  • 6) 0,009 024 179 488 × 2 = 0 + 0,018 048 358 976;
  • 7) 0,018 048 358 976 × 2 = 0 + 0,036 096 717 952;
  • 8) 0,036 096 717 952 × 2 = 0 + 0,072 193 435 904;
  • 9) 0,072 193 435 904 × 2 = 0 + 0,144 386 871 808;
  • 10) 0,144 386 871 808 × 2 = 0 + 0,288 773 743 616;
  • 11) 0,288 773 743 616 × 2 = 0 + 0,577 547 487 232;
  • 12) 0,577 547 487 232 × 2 = 1 + 0,155 094 974 464;
  • 13) 0,155 094 974 464 × 2 = 0 + 0,310 189 948 928;
  • 14) 0,310 189 948 928 × 2 = 0 + 0,620 379 897 856;
  • 15) 0,620 379 897 856 × 2 = 1 + 0,240 759 795 712;
  • 16) 0,240 759 795 712 × 2 = 0 + 0,481 519 591 424;
  • 17) 0,481 519 591 424 × 2 = 0 + 0,963 039 182 848;
  • 18) 0,963 039 182 848 × 2 = 1 + 0,926 078 365 696;
  • 19) 0,926 078 365 696 × 2 = 1 + 0,852 156 731 392;
  • 20) 0,852 156 731 392 × 2 = 1 + 0,704 313 462 784;
  • 21) 0,704 313 462 784 × 2 = 1 + 0,408 626 925 568;
  • 22) 0,408 626 925 568 × 2 = 0 + 0,817 253 851 136;
  • 23) 0,817 253 851 136 × 2 = 1 + 0,634 507 702 272;
  • 24) 0,634 507 702 272 × 2 = 1 + 0,269 015 404 544;
  • 25) 0,269 015 404 544 × 2 = 0 + 0,538 030 809 088;
  • 26) 0,538 030 809 088 × 2 = 1 + 0,076 061 618 176;
  • 27) 0,076 061 618 176 × 2 = 0 + 0,152 123 236 352;
  • 28) 0,152 123 236 352 × 2 = 0 + 0,304 246 472 704;
  • 29) 0,304 246 472 704 × 2 = 0 + 0,608 492 945 408;
  • 30) 0,608 492 945 408 × 2 = 1 + 0,216 985 890 816;
  • 31) 0,216 985 890 816 × 2 = 0 + 0,433 971 781 632;
  • 32) 0,433 971 781 632 × 2 = 0 + 0,867 943 563 264;
  • 33) 0,867 943 563 264 × 2 = 1 + 0,735 887 126 528;
  • 34) 0,735 887 126 528 × 2 = 1 + 0,471 774 253 056;
  • 35) 0,471 774 253 056 × 2 = 0 + 0,943 548 506 112;
  • 36) 0,943 548 506 112 × 2 = 1 + 0,887 097 012 224;
  • 37) 0,887 097 012 224 × 2 = 1 + 0,774 194 024 448;
  • 38) 0,774 194 024 448 × 2 = 1 + 0,548 388 048 896;
  • 39) 0,548 388 048 896 × 2 = 1 + 0,096 776 097 792;
  • 40) 0,096 776 097 792 × 2 = 0 + 0,193 552 195 584;
  • 41) 0,193 552 195 584 × 2 = 0 + 0,387 104 391 168;
  • 42) 0,387 104 391 168 × 2 = 0 + 0,774 208 782 336;
  • 43) 0,774 208 782 336 × 2 = 1 + 0,548 417 564 672;
  • 44) 0,548 417 564 672 × 2 = 1 + 0,096 835 129 344;
  • 45) 0,096 835 129 344 × 2 = 0 + 0,193 670 258 688;
  • 46) 0,193 670 258 688 × 2 = 0 + 0,387 340 517 376;
  • 47) 0,387 340 517 376 × 2 = 0 + 0,774 681 034 752;
  • 48) 0,774 681 034 752 × 2 = 1 + 0,549 362 069 504;
  • 49) 0,549 362 069 504 × 2 = 1 + 0,098 724 139 008;
  • 50) 0,098 724 139 008 × 2 = 0 + 0,197 448 278 016;
  • 51) 0,197 448 278 016 × 2 = 0 + 0,394 896 556 032;
  • 52) 0,394 896 556 032 × 2 = 0 + 0,789 793 112 064;
  • 53) 0,789 793 112 064 × 2 = 1 + 0,579 586 224 128;
  • 54) 0,579 586 224 128 × 2 = 1 + 0,159 172 448 256;
  • 55) 0,159 172 448 256 × 2 = 0 + 0,318 344 896 512;
  • 56) 0,318 344 896 512 × 2 = 0 + 0,636 689 793 024;
  • 57) 0,636 689 793 024 × 2 = 1 + 0,273 379 586 048;
  • 58) 0,273 379 586 048 × 2 = 0 + 0,546 759 172 096;
  • 59) 0,546 759 172 096 × 2 = 1 + 0,093 518 344 192;
  • 60) 0,093 518 344 192 × 2 = 0 + 0,187 036 688 384;
  • 61) 0,187 036 688 384 × 2 = 0 + 0,374 073 376 768;
  • 62) 0,374 073 376 768 × 2 = 0 + 0,748 146 753 536;
  • 63) 0,748 146 753 536 × 2 = 1 + 0,496 293 507 072;
  • 64) 0,496 293 507 072 × 2 = 0 + 0,992 587 014 144;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 609(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 609(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 609(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010 =

0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 609 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0100 1101 1110 0011 0001 1000 1100 1010 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 587 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100