-0,000 282 005 669 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 669(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 669(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 669| = 0,000 282 005 669


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 669.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 669 × 2 = 0 + 0,000 564 011 338;
  • 2) 0,000 564 011 338 × 2 = 0 + 0,001 128 022 676;
  • 3) 0,001 128 022 676 × 2 = 0 + 0,002 256 045 352;
  • 4) 0,002 256 045 352 × 2 = 0 + 0,004 512 090 704;
  • 5) 0,004 512 090 704 × 2 = 0 + 0,009 024 181 408;
  • 6) 0,009 024 181 408 × 2 = 0 + 0,018 048 362 816;
  • 7) 0,018 048 362 816 × 2 = 0 + 0,036 096 725 632;
  • 8) 0,036 096 725 632 × 2 = 0 + 0,072 193 451 264;
  • 9) 0,072 193 451 264 × 2 = 0 + 0,144 386 902 528;
  • 10) 0,144 386 902 528 × 2 = 0 + 0,288 773 805 056;
  • 11) 0,288 773 805 056 × 2 = 0 + 0,577 547 610 112;
  • 12) 0,577 547 610 112 × 2 = 1 + 0,155 095 220 224;
  • 13) 0,155 095 220 224 × 2 = 0 + 0,310 190 440 448;
  • 14) 0,310 190 440 448 × 2 = 0 + 0,620 380 880 896;
  • 15) 0,620 380 880 896 × 2 = 1 + 0,240 761 761 792;
  • 16) 0,240 761 761 792 × 2 = 0 + 0,481 523 523 584;
  • 17) 0,481 523 523 584 × 2 = 0 + 0,963 047 047 168;
  • 18) 0,963 047 047 168 × 2 = 1 + 0,926 094 094 336;
  • 19) 0,926 094 094 336 × 2 = 1 + 0,852 188 188 672;
  • 20) 0,852 188 188 672 × 2 = 1 + 0,704 376 377 344;
  • 21) 0,704 376 377 344 × 2 = 1 + 0,408 752 754 688;
  • 22) 0,408 752 754 688 × 2 = 0 + 0,817 505 509 376;
  • 23) 0,817 505 509 376 × 2 = 1 + 0,635 011 018 752;
  • 24) 0,635 011 018 752 × 2 = 1 + 0,270 022 037 504;
  • 25) 0,270 022 037 504 × 2 = 0 + 0,540 044 075 008;
  • 26) 0,540 044 075 008 × 2 = 1 + 0,080 088 150 016;
  • 27) 0,080 088 150 016 × 2 = 0 + 0,160 176 300 032;
  • 28) 0,160 176 300 032 × 2 = 0 + 0,320 352 600 064;
  • 29) 0,320 352 600 064 × 2 = 0 + 0,640 705 200 128;
  • 30) 0,640 705 200 128 × 2 = 1 + 0,281 410 400 256;
  • 31) 0,281 410 400 256 × 2 = 0 + 0,562 820 800 512;
  • 32) 0,562 820 800 512 × 2 = 1 + 0,125 641 601 024;
  • 33) 0,125 641 601 024 × 2 = 0 + 0,251 283 202 048;
  • 34) 0,251 283 202 048 × 2 = 0 + 0,502 566 404 096;
  • 35) 0,502 566 404 096 × 2 = 1 + 0,005 132 808 192;
  • 36) 0,005 132 808 192 × 2 = 0 + 0,010 265 616 384;
  • 37) 0,010 265 616 384 × 2 = 0 + 0,020 531 232 768;
  • 38) 0,020 531 232 768 × 2 = 0 + 0,041 062 465 536;
  • 39) 0,041 062 465 536 × 2 = 0 + 0,082 124 931 072;
  • 40) 0,082 124 931 072 × 2 = 0 + 0,164 249 862 144;
  • 41) 0,164 249 862 144 × 2 = 0 + 0,328 499 724 288;
  • 42) 0,328 499 724 288 × 2 = 0 + 0,656 999 448 576;
  • 43) 0,656 999 448 576 × 2 = 1 + 0,313 998 897 152;
  • 44) 0,313 998 897 152 × 2 = 0 + 0,627 997 794 304;
  • 45) 0,627 997 794 304 × 2 = 1 + 0,255 995 588 608;
  • 46) 0,255 995 588 608 × 2 = 0 + 0,511 991 177 216;
  • 47) 0,511 991 177 216 × 2 = 1 + 0,023 982 354 432;
  • 48) 0,023 982 354 432 × 2 = 0 + 0,047 964 708 864;
  • 49) 0,047 964 708 864 × 2 = 0 + 0,095 929 417 728;
  • 50) 0,095 929 417 728 × 2 = 0 + 0,191 858 835 456;
  • 51) 0,191 858 835 456 × 2 = 0 + 0,383 717 670 912;
  • 52) 0,383 717 670 912 × 2 = 0 + 0,767 435 341 824;
  • 53) 0,767 435 341 824 × 2 = 1 + 0,534 870 683 648;
  • 54) 0,534 870 683 648 × 2 = 1 + 0,069 741 367 296;
  • 55) 0,069 741 367 296 × 2 = 0 + 0,139 482 734 592;
  • 56) 0,139 482 734 592 × 2 = 0 + 0,278 965 469 184;
  • 57) 0,278 965 469 184 × 2 = 0 + 0,557 930 938 368;
  • 58) 0,557 930 938 368 × 2 = 1 + 0,115 861 876 736;
  • 59) 0,115 861 876 736 × 2 = 0 + 0,231 723 753 472;
  • 60) 0,231 723 753 472 × 2 = 0 + 0,463 447 506 944;
  • 61) 0,463 447 506 944 × 2 = 0 + 0,926 895 013 888;
  • 62) 0,926 895 013 888 × 2 = 1 + 0,853 790 027 776;
  • 63) 0,853 790 027 776 × 2 = 1 + 0,707 580 055 552;
  • 64) 0,707 580 055 552 × 2 = 1 + 0,415 160 111 104;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 669(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 669(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 669(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111 =

0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 669 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 0010 0000 0010 1010 0000 1100 0100 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 722 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100