-0,000 282 005 689 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 689(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 689(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 689| = 0,000 282 005 689


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 689.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 689 × 2 = 0 + 0,000 564 011 378;
  • 2) 0,000 564 011 378 × 2 = 0 + 0,001 128 022 756;
  • 3) 0,001 128 022 756 × 2 = 0 + 0,002 256 045 512;
  • 4) 0,002 256 045 512 × 2 = 0 + 0,004 512 091 024;
  • 5) 0,004 512 091 024 × 2 = 0 + 0,009 024 182 048;
  • 6) 0,009 024 182 048 × 2 = 0 + 0,018 048 364 096;
  • 7) 0,018 048 364 096 × 2 = 0 + 0,036 096 728 192;
  • 8) 0,036 096 728 192 × 2 = 0 + 0,072 193 456 384;
  • 9) 0,072 193 456 384 × 2 = 0 + 0,144 386 912 768;
  • 10) 0,144 386 912 768 × 2 = 0 + 0,288 773 825 536;
  • 11) 0,288 773 825 536 × 2 = 0 + 0,577 547 651 072;
  • 12) 0,577 547 651 072 × 2 = 1 + 0,155 095 302 144;
  • 13) 0,155 095 302 144 × 2 = 0 + 0,310 190 604 288;
  • 14) 0,310 190 604 288 × 2 = 0 + 0,620 381 208 576;
  • 15) 0,620 381 208 576 × 2 = 1 + 0,240 762 417 152;
  • 16) 0,240 762 417 152 × 2 = 0 + 0,481 524 834 304;
  • 17) 0,481 524 834 304 × 2 = 0 + 0,963 049 668 608;
  • 18) 0,963 049 668 608 × 2 = 1 + 0,926 099 337 216;
  • 19) 0,926 099 337 216 × 2 = 1 + 0,852 198 674 432;
  • 20) 0,852 198 674 432 × 2 = 1 + 0,704 397 348 864;
  • 21) 0,704 397 348 864 × 2 = 1 + 0,408 794 697 728;
  • 22) 0,408 794 697 728 × 2 = 0 + 0,817 589 395 456;
  • 23) 0,817 589 395 456 × 2 = 1 + 0,635 178 790 912;
  • 24) 0,635 178 790 912 × 2 = 1 + 0,270 357 581 824;
  • 25) 0,270 357 581 824 × 2 = 0 + 0,540 715 163 648;
  • 26) 0,540 715 163 648 × 2 = 1 + 0,081 430 327 296;
  • 27) 0,081 430 327 296 × 2 = 0 + 0,162 860 654 592;
  • 28) 0,162 860 654 592 × 2 = 0 + 0,325 721 309 184;
  • 29) 0,325 721 309 184 × 2 = 0 + 0,651 442 618 368;
  • 30) 0,651 442 618 368 × 2 = 1 + 0,302 885 236 736;
  • 31) 0,302 885 236 736 × 2 = 0 + 0,605 770 473 472;
  • 32) 0,605 770 473 472 × 2 = 1 + 0,211 540 946 944;
  • 33) 0,211 540 946 944 × 2 = 0 + 0,423 081 893 888;
  • 34) 0,423 081 893 888 × 2 = 0 + 0,846 163 787 776;
  • 35) 0,846 163 787 776 × 2 = 1 + 0,692 327 575 552;
  • 36) 0,692 327 575 552 × 2 = 1 + 0,384 655 151 104;
  • 37) 0,384 655 151 104 × 2 = 0 + 0,769 310 302 208;
  • 38) 0,769 310 302 208 × 2 = 1 + 0,538 620 604 416;
  • 39) 0,538 620 604 416 × 2 = 1 + 0,077 241 208 832;
  • 40) 0,077 241 208 832 × 2 = 0 + 0,154 482 417 664;
  • 41) 0,154 482 417 664 × 2 = 0 + 0,308 964 835 328;
  • 42) 0,308 964 835 328 × 2 = 0 + 0,617 929 670 656;
  • 43) 0,617 929 670 656 × 2 = 1 + 0,235 859 341 312;
  • 44) 0,235 859 341 312 × 2 = 0 + 0,471 718 682 624;
  • 45) 0,471 718 682 624 × 2 = 0 + 0,943 437 365 248;
  • 46) 0,943 437 365 248 × 2 = 1 + 0,886 874 730 496;
  • 47) 0,886 874 730 496 × 2 = 1 + 0,773 749 460 992;
  • 48) 0,773 749 460 992 × 2 = 1 + 0,547 498 921 984;
  • 49) 0,547 498 921 984 × 2 = 1 + 0,094 997 843 968;
  • 50) 0,094 997 843 968 × 2 = 0 + 0,189 995 687 936;
  • 51) 0,189 995 687 936 × 2 = 0 + 0,379 991 375 872;
  • 52) 0,379 991 375 872 × 2 = 0 + 0,759 982 751 744;
  • 53) 0,759 982 751 744 × 2 = 1 + 0,519 965 503 488;
  • 54) 0,519 965 503 488 × 2 = 1 + 0,039 931 006 976;
  • 55) 0,039 931 006 976 × 2 = 0 + 0,079 862 013 952;
  • 56) 0,079 862 013 952 × 2 = 0 + 0,159 724 027 904;
  • 57) 0,159 724 027 904 × 2 = 0 + 0,319 448 055 808;
  • 58) 0,319 448 055 808 × 2 = 0 + 0,638 896 111 616;
  • 59) 0,638 896 111 616 × 2 = 1 + 0,277 792 223 232;
  • 60) 0,277 792 223 232 × 2 = 0 + 0,555 584 446 464;
  • 61) 0,555 584 446 464 × 2 = 1 + 0,111 168 892 928;
  • 62) 0,111 168 892 928 × 2 = 0 + 0,222 337 785 856;
  • 63) 0,222 337 785 856 × 2 = 0 + 0,444 675 571 712;
  • 64) 0,444 675 571 712 × 2 = 0 + 0,889 351 143 424;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 689(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 689(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 689(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000 =

0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 689 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 0011 0110 0010 0111 1000 1100 0010 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 598 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100