-0,000 282 005 703 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 703(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 703(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 703| = 0,000 282 005 703


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 703.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 703 × 2 = 0 + 0,000 564 011 406;
  • 2) 0,000 564 011 406 × 2 = 0 + 0,001 128 022 812;
  • 3) 0,001 128 022 812 × 2 = 0 + 0,002 256 045 624;
  • 4) 0,002 256 045 624 × 2 = 0 + 0,004 512 091 248;
  • 5) 0,004 512 091 248 × 2 = 0 + 0,009 024 182 496;
  • 6) 0,009 024 182 496 × 2 = 0 + 0,018 048 364 992;
  • 7) 0,018 048 364 992 × 2 = 0 + 0,036 096 729 984;
  • 8) 0,036 096 729 984 × 2 = 0 + 0,072 193 459 968;
  • 9) 0,072 193 459 968 × 2 = 0 + 0,144 386 919 936;
  • 10) 0,144 386 919 936 × 2 = 0 + 0,288 773 839 872;
  • 11) 0,288 773 839 872 × 2 = 0 + 0,577 547 679 744;
  • 12) 0,577 547 679 744 × 2 = 1 + 0,155 095 359 488;
  • 13) 0,155 095 359 488 × 2 = 0 + 0,310 190 718 976;
  • 14) 0,310 190 718 976 × 2 = 0 + 0,620 381 437 952;
  • 15) 0,620 381 437 952 × 2 = 1 + 0,240 762 875 904;
  • 16) 0,240 762 875 904 × 2 = 0 + 0,481 525 751 808;
  • 17) 0,481 525 751 808 × 2 = 0 + 0,963 051 503 616;
  • 18) 0,963 051 503 616 × 2 = 1 + 0,926 103 007 232;
  • 19) 0,926 103 007 232 × 2 = 1 + 0,852 206 014 464;
  • 20) 0,852 206 014 464 × 2 = 1 + 0,704 412 028 928;
  • 21) 0,704 412 028 928 × 2 = 1 + 0,408 824 057 856;
  • 22) 0,408 824 057 856 × 2 = 0 + 0,817 648 115 712;
  • 23) 0,817 648 115 712 × 2 = 1 + 0,635 296 231 424;
  • 24) 0,635 296 231 424 × 2 = 1 + 0,270 592 462 848;
  • 25) 0,270 592 462 848 × 2 = 0 + 0,541 184 925 696;
  • 26) 0,541 184 925 696 × 2 = 1 + 0,082 369 851 392;
  • 27) 0,082 369 851 392 × 2 = 0 + 0,164 739 702 784;
  • 28) 0,164 739 702 784 × 2 = 0 + 0,329 479 405 568;
  • 29) 0,329 479 405 568 × 2 = 0 + 0,658 958 811 136;
  • 30) 0,658 958 811 136 × 2 = 1 + 0,317 917 622 272;
  • 31) 0,317 917 622 272 × 2 = 0 + 0,635 835 244 544;
  • 32) 0,635 835 244 544 × 2 = 1 + 0,271 670 489 088;
  • 33) 0,271 670 489 088 × 2 = 0 + 0,543 340 978 176;
  • 34) 0,543 340 978 176 × 2 = 1 + 0,086 681 956 352;
  • 35) 0,086 681 956 352 × 2 = 0 + 0,173 363 912 704;
  • 36) 0,173 363 912 704 × 2 = 0 + 0,346 727 825 408;
  • 37) 0,346 727 825 408 × 2 = 0 + 0,693 455 650 816;
  • 38) 0,693 455 650 816 × 2 = 1 + 0,386 911 301 632;
  • 39) 0,386 911 301 632 × 2 = 0 + 0,773 822 603 264;
  • 40) 0,773 822 603 264 × 2 = 1 + 0,547 645 206 528;
  • 41) 0,547 645 206 528 × 2 = 1 + 0,095 290 413 056;
  • 42) 0,095 290 413 056 × 2 = 0 + 0,190 580 826 112;
  • 43) 0,190 580 826 112 × 2 = 0 + 0,381 161 652 224;
  • 44) 0,381 161 652 224 × 2 = 0 + 0,762 323 304 448;
  • 45) 0,762 323 304 448 × 2 = 1 + 0,524 646 608 896;
  • 46) 0,524 646 608 896 × 2 = 1 + 0,049 293 217 792;
  • 47) 0,049 293 217 792 × 2 = 0 + 0,098 586 435 584;
  • 48) 0,098 586 435 584 × 2 = 0 + 0,197 172 871 168;
  • 49) 0,197 172 871 168 × 2 = 0 + 0,394 345 742 336;
  • 50) 0,394 345 742 336 × 2 = 0 + 0,788 691 484 672;
  • 51) 0,788 691 484 672 × 2 = 1 + 0,577 382 969 344;
  • 52) 0,577 382 969 344 × 2 = 1 + 0,154 765 938 688;
  • 53) 0,154 765 938 688 × 2 = 0 + 0,309 531 877 376;
  • 54) 0,309 531 877 376 × 2 = 0 + 0,619 063 754 752;
  • 55) 0,619 063 754 752 × 2 = 1 + 0,238 127 509 504;
  • 56) 0,238 127 509 504 × 2 = 0 + 0,476 255 019 008;
  • 57) 0,476 255 019 008 × 2 = 0 + 0,952 510 038 016;
  • 58) 0,952 510 038 016 × 2 = 1 + 0,905 020 076 032;
  • 59) 0,905 020 076 032 × 2 = 1 + 0,810 040 152 064;
  • 60) 0,810 040 152 064 × 2 = 1 + 0,620 080 304 128;
  • 61) 0,620 080 304 128 × 2 = 1 + 0,240 160 608 256;
  • 62) 0,240 160 608 256 × 2 = 0 + 0,480 321 216 512;
  • 63) 0,480 321 216 512 × 2 = 0 + 0,960 642 433 024;
  • 64) 0,960 642 433 024 × 2 = 1 + 0,921 284 866 048;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 703(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 703(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 703(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001 =

0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 703 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 0100 0101 1000 1100 0011 0010 0111 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 798 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100