-0,000 282 005 746 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 746(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 746(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 746| = 0,000 282 005 746


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 746.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 746 × 2 = 0 + 0,000 564 011 492;
  • 2) 0,000 564 011 492 × 2 = 0 + 0,001 128 022 984;
  • 3) 0,001 128 022 984 × 2 = 0 + 0,002 256 045 968;
  • 4) 0,002 256 045 968 × 2 = 0 + 0,004 512 091 936;
  • 5) 0,004 512 091 936 × 2 = 0 + 0,009 024 183 872;
  • 6) 0,009 024 183 872 × 2 = 0 + 0,018 048 367 744;
  • 7) 0,018 048 367 744 × 2 = 0 + 0,036 096 735 488;
  • 8) 0,036 096 735 488 × 2 = 0 + 0,072 193 470 976;
  • 9) 0,072 193 470 976 × 2 = 0 + 0,144 386 941 952;
  • 10) 0,144 386 941 952 × 2 = 0 + 0,288 773 883 904;
  • 11) 0,288 773 883 904 × 2 = 0 + 0,577 547 767 808;
  • 12) 0,577 547 767 808 × 2 = 1 + 0,155 095 535 616;
  • 13) 0,155 095 535 616 × 2 = 0 + 0,310 191 071 232;
  • 14) 0,310 191 071 232 × 2 = 0 + 0,620 382 142 464;
  • 15) 0,620 382 142 464 × 2 = 1 + 0,240 764 284 928;
  • 16) 0,240 764 284 928 × 2 = 0 + 0,481 528 569 856;
  • 17) 0,481 528 569 856 × 2 = 0 + 0,963 057 139 712;
  • 18) 0,963 057 139 712 × 2 = 1 + 0,926 114 279 424;
  • 19) 0,926 114 279 424 × 2 = 1 + 0,852 228 558 848;
  • 20) 0,852 228 558 848 × 2 = 1 + 0,704 457 117 696;
  • 21) 0,704 457 117 696 × 2 = 1 + 0,408 914 235 392;
  • 22) 0,408 914 235 392 × 2 = 0 + 0,817 828 470 784;
  • 23) 0,817 828 470 784 × 2 = 1 + 0,635 656 941 568;
  • 24) 0,635 656 941 568 × 2 = 1 + 0,271 313 883 136;
  • 25) 0,271 313 883 136 × 2 = 0 + 0,542 627 766 272;
  • 26) 0,542 627 766 272 × 2 = 1 + 0,085 255 532 544;
  • 27) 0,085 255 532 544 × 2 = 0 + 0,170 511 065 088;
  • 28) 0,170 511 065 088 × 2 = 0 + 0,341 022 130 176;
  • 29) 0,341 022 130 176 × 2 = 0 + 0,682 044 260 352;
  • 30) 0,682 044 260 352 × 2 = 1 + 0,364 088 520 704;
  • 31) 0,364 088 520 704 × 2 = 0 + 0,728 177 041 408;
  • 32) 0,728 177 041 408 × 2 = 1 + 0,456 354 082 816;
  • 33) 0,456 354 082 816 × 2 = 0 + 0,912 708 165 632;
  • 34) 0,912 708 165 632 × 2 = 1 + 0,825 416 331 264;
  • 35) 0,825 416 331 264 × 2 = 1 + 0,650 832 662 528;
  • 36) 0,650 832 662 528 × 2 = 1 + 0,301 665 325 056;
  • 37) 0,301 665 325 056 × 2 = 0 + 0,603 330 650 112;
  • 38) 0,603 330 650 112 × 2 = 1 + 0,206 661 300 224;
  • 39) 0,206 661 300 224 × 2 = 0 + 0,413 322 600 448;
  • 40) 0,413 322 600 448 × 2 = 0 + 0,826 645 200 896;
  • 41) 0,826 645 200 896 × 2 = 1 + 0,653 290 401 792;
  • 42) 0,653 290 401 792 × 2 = 1 + 0,306 580 803 584;
  • 43) 0,306 580 803 584 × 2 = 0 + 0,613 161 607 168;
  • 44) 0,613 161 607 168 × 2 = 1 + 0,226 323 214 336;
  • 45) 0,226 323 214 336 × 2 = 0 + 0,452 646 428 672;
  • 46) 0,452 646 428 672 × 2 = 0 + 0,905 292 857 344;
  • 47) 0,905 292 857 344 × 2 = 1 + 0,810 585 714 688;
  • 48) 0,810 585 714 688 × 2 = 1 + 0,621 171 429 376;
  • 49) 0,621 171 429 376 × 2 = 1 + 0,242 342 858 752;
  • 50) 0,242 342 858 752 × 2 = 0 + 0,484 685 717 504;
  • 51) 0,484 685 717 504 × 2 = 0 + 0,969 371 435 008;
  • 52) 0,969 371 435 008 × 2 = 1 + 0,938 742 870 016;
  • 53) 0,938 742 870 016 × 2 = 1 + 0,877 485 740 032;
  • 54) 0,877 485 740 032 × 2 = 1 + 0,754 971 480 064;
  • 55) 0,754 971 480 064 × 2 = 1 + 0,509 942 960 128;
  • 56) 0,509 942 960 128 × 2 = 1 + 0,019 885 920 256;
  • 57) 0,019 885 920 256 × 2 = 0 + 0,039 771 840 512;
  • 58) 0,039 771 840 512 × 2 = 0 + 0,079 543 681 024;
  • 59) 0,079 543 681 024 × 2 = 0 + 0,159 087 362 048;
  • 60) 0,159 087 362 048 × 2 = 0 + 0,318 174 724 096;
  • 61) 0,318 174 724 096 × 2 = 0 + 0,636 349 448 192;
  • 62) 0,636 349 448 192 × 2 = 1 + 0,272 698 896 384;
  • 63) 0,272 698 896 384 × 2 = 0 + 0,545 397 792 768;
  • 64) 0,545 397 792 768 × 2 = 1 + 0,090 795 585 536;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 746(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 746(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 746(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101 =

0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 746 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 0111 0100 1101 0011 1001 1111 0000 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 769 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100