-0,000 282 005 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 8| = 0,000 282 005 8


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 8 × 2 = 0 + 0,000 564 011 6;
  • 2) 0,000 564 011 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 2;
  • 3) 0,001 128 023 2 × 2 = 0 + 0,002 256 046 4;
  • 4) 0,002 256 046 4 × 2 = 0 + 0,004 512 092 8;
  • 5) 0,004 512 092 8 × 2 = 0 + 0,009 024 185 6;
  • 6) 0,009 024 185 6 × 2 = 0 + 0,018 048 371 2;
  • 7) 0,018 048 371 2 × 2 = 0 + 0,036 096 742 4;
  • 8) 0,036 096 742 4 × 2 = 0 + 0,072 193 484 8;
  • 9) 0,072 193 484 8 × 2 = 0 + 0,144 386 969 6;
  • 10) 0,144 386 969 6 × 2 = 0 + 0,288 773 939 2;
  • 11) 0,288 773 939 2 × 2 = 0 + 0,577 547 878 4;
  • 12) 0,577 547 878 4 × 2 = 1 + 0,155 095 756 8;
  • 13) 0,155 095 756 8 × 2 = 0 + 0,310 191 513 6;
  • 14) 0,310 191 513 6 × 2 = 0 + 0,620 383 027 2;
  • 15) 0,620 383 027 2 × 2 = 1 + 0,240 766 054 4;
  • 16) 0,240 766 054 4 × 2 = 0 + 0,481 532 108 8;
  • 17) 0,481 532 108 8 × 2 = 0 + 0,963 064 217 6;
  • 18) 0,963 064 217 6 × 2 = 1 + 0,926 128 435 2;
  • 19) 0,926 128 435 2 × 2 = 1 + 0,852 256 870 4;
  • 20) 0,852 256 870 4 × 2 = 1 + 0,704 513 740 8;
  • 21) 0,704 513 740 8 × 2 = 1 + 0,409 027 481 6;
  • 22) 0,409 027 481 6 × 2 = 0 + 0,818 054 963 2;
  • 23) 0,818 054 963 2 × 2 = 1 + 0,636 109 926 4;
  • 24) 0,636 109 926 4 × 2 = 1 + 0,272 219 852 8;
  • 25) 0,272 219 852 8 × 2 = 0 + 0,544 439 705 6;
  • 26) 0,544 439 705 6 × 2 = 1 + 0,088 879 411 2;
  • 27) 0,088 879 411 2 × 2 = 0 + 0,177 758 822 4;
  • 28) 0,177 758 822 4 × 2 = 0 + 0,355 517 644 8;
  • 29) 0,355 517 644 8 × 2 = 0 + 0,711 035 289 6;
  • 30) 0,711 035 289 6 × 2 = 1 + 0,422 070 579 2;
  • 31) 0,422 070 579 2 × 2 = 0 + 0,844 141 158 4;
  • 32) 0,844 141 158 4 × 2 = 1 + 0,688 282 316 8;
  • 33) 0,688 282 316 8 × 2 = 1 + 0,376 564 633 6;
  • 34) 0,376 564 633 6 × 2 = 0 + 0,753 129 267 2;
  • 35) 0,753 129 267 2 × 2 = 1 + 0,506 258 534 4;
  • 36) 0,506 258 534 4 × 2 = 1 + 0,012 517 068 8;
  • 37) 0,012 517 068 8 × 2 = 0 + 0,025 034 137 6;
  • 38) 0,025 034 137 6 × 2 = 0 + 0,050 068 275 2;
  • 39) 0,050 068 275 2 × 2 = 0 + 0,100 136 550 4;
  • 40) 0,100 136 550 4 × 2 = 0 + 0,200 273 100 8;
  • 41) 0,200 273 100 8 × 2 = 0 + 0,400 546 201 6;
  • 42) 0,400 546 201 6 × 2 = 0 + 0,801 092 403 2;
  • 43) 0,801 092 403 2 × 2 = 1 + 0,602 184 806 4;
  • 44) 0,602 184 806 4 × 2 = 1 + 0,204 369 612 8;
  • 45) 0,204 369 612 8 × 2 = 0 + 0,408 739 225 6;
  • 46) 0,408 739 225 6 × 2 = 0 + 0,817 478 451 2;
  • 47) 0,817 478 451 2 × 2 = 1 + 0,634 956 902 4;
  • 48) 0,634 956 902 4 × 2 = 1 + 0,269 913 804 8;
  • 49) 0,269 913 804 8 × 2 = 0 + 0,539 827 609 6;
  • 50) 0,539 827 609 6 × 2 = 1 + 0,079 655 219 2;
  • 51) 0,079 655 219 2 × 2 = 0 + 0,159 310 438 4;
  • 52) 0,159 310 438 4 × 2 = 0 + 0,318 620 876 8;
  • 53) 0,318 620 876 8 × 2 = 0 + 0,637 241 753 6;
  • 54) 0,637 241 753 6 × 2 = 1 + 0,274 483 507 2;
  • 55) 0,274 483 507 2 × 2 = 0 + 0,548 967 014 4;
  • 56) 0,548 967 014 4 × 2 = 1 + 0,097 934 028 8;
  • 57) 0,097 934 028 8 × 2 = 0 + 0,195 868 057 6;
  • 58) 0,195 868 057 6 × 2 = 0 + 0,391 736 115 2;
  • 59) 0,391 736 115 2 × 2 = 0 + 0,783 472 230 4;
  • 60) 0,783 472 230 4 × 2 = 1 + 0,566 944 460 8;
  • 61) 0,566 944 460 8 × 2 = 1 + 0,133 888 921 6;
  • 62) 0,133 888 921 6 × 2 = 0 + 0,267 777 843 2;
  • 63) 0,267 777 843 2 × 2 = 0 + 0,535 555 686 4;
  • 64) 0,535 555 686 4 × 2 = 1 + 0,071 111 372 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 8(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001 =

0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1011 0000 0011 0011 0100 0101 0001 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 012 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100