-0,000 282 005 824 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 824(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 824(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 824| = 0,000 282 005 824


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 824.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 824 × 2 = 0 + 0,000 564 011 648;
  • 2) 0,000 564 011 648 × 2 = 0 + 0,001 128 023 296;
  • 3) 0,001 128 023 296 × 2 = 0 + 0,002 256 046 592;
  • 4) 0,002 256 046 592 × 2 = 0 + 0,004 512 093 184;
  • 5) 0,004 512 093 184 × 2 = 0 + 0,009 024 186 368;
  • 6) 0,009 024 186 368 × 2 = 0 + 0,018 048 372 736;
  • 7) 0,018 048 372 736 × 2 = 0 + 0,036 096 745 472;
  • 8) 0,036 096 745 472 × 2 = 0 + 0,072 193 490 944;
  • 9) 0,072 193 490 944 × 2 = 0 + 0,144 386 981 888;
  • 10) 0,144 386 981 888 × 2 = 0 + 0,288 773 963 776;
  • 11) 0,288 773 963 776 × 2 = 0 + 0,577 547 927 552;
  • 12) 0,577 547 927 552 × 2 = 1 + 0,155 095 855 104;
  • 13) 0,155 095 855 104 × 2 = 0 + 0,310 191 710 208;
  • 14) 0,310 191 710 208 × 2 = 0 + 0,620 383 420 416;
  • 15) 0,620 383 420 416 × 2 = 1 + 0,240 766 840 832;
  • 16) 0,240 766 840 832 × 2 = 0 + 0,481 533 681 664;
  • 17) 0,481 533 681 664 × 2 = 0 + 0,963 067 363 328;
  • 18) 0,963 067 363 328 × 2 = 1 + 0,926 134 726 656;
  • 19) 0,926 134 726 656 × 2 = 1 + 0,852 269 453 312;
  • 20) 0,852 269 453 312 × 2 = 1 + 0,704 538 906 624;
  • 21) 0,704 538 906 624 × 2 = 1 + 0,409 077 813 248;
  • 22) 0,409 077 813 248 × 2 = 0 + 0,818 155 626 496;
  • 23) 0,818 155 626 496 × 2 = 1 + 0,636 311 252 992;
  • 24) 0,636 311 252 992 × 2 = 1 + 0,272 622 505 984;
  • 25) 0,272 622 505 984 × 2 = 0 + 0,545 245 011 968;
  • 26) 0,545 245 011 968 × 2 = 1 + 0,090 490 023 936;
  • 27) 0,090 490 023 936 × 2 = 0 + 0,180 980 047 872;
  • 28) 0,180 980 047 872 × 2 = 0 + 0,361 960 095 744;
  • 29) 0,361 960 095 744 × 2 = 0 + 0,723 920 191 488;
  • 30) 0,723 920 191 488 × 2 = 1 + 0,447 840 382 976;
  • 31) 0,447 840 382 976 × 2 = 0 + 0,895 680 765 952;
  • 32) 0,895 680 765 952 × 2 = 1 + 0,791 361 531 904;
  • 33) 0,791 361 531 904 × 2 = 1 + 0,582 723 063 808;
  • 34) 0,582 723 063 808 × 2 = 1 + 0,165 446 127 616;
  • 35) 0,165 446 127 616 × 2 = 0 + 0,330 892 255 232;
  • 36) 0,330 892 255 232 × 2 = 0 + 0,661 784 510 464;
  • 37) 0,661 784 510 464 × 2 = 1 + 0,323 569 020 928;
  • 38) 0,323 569 020 928 × 2 = 0 + 0,647 138 041 856;
  • 39) 0,647 138 041 856 × 2 = 1 + 0,294 276 083 712;
  • 40) 0,294 276 083 712 × 2 = 0 + 0,588 552 167 424;
  • 41) 0,588 552 167 424 × 2 = 1 + 0,177 104 334 848;
  • 42) 0,177 104 334 848 × 2 = 0 + 0,354 208 669 696;
  • 43) 0,354 208 669 696 × 2 = 0 + 0,708 417 339 392;
  • 44) 0,708 417 339 392 × 2 = 1 + 0,416 834 678 784;
  • 45) 0,416 834 678 784 × 2 = 0 + 0,833 669 357 568;
  • 46) 0,833 669 357 568 × 2 = 1 + 0,667 338 715 136;
  • 47) 0,667 338 715 136 × 2 = 1 + 0,334 677 430 272;
  • 48) 0,334 677 430 272 × 2 = 0 + 0,669 354 860 544;
  • 49) 0,669 354 860 544 × 2 = 1 + 0,338 709 721 088;
  • 50) 0,338 709 721 088 × 2 = 0 + 0,677 419 442 176;
  • 51) 0,677 419 442 176 × 2 = 1 + 0,354 838 884 352;
  • 52) 0,354 838 884 352 × 2 = 0 + 0,709 677 768 704;
  • 53) 0,709 677 768 704 × 2 = 1 + 0,419 355 537 408;
  • 54) 0,419 355 537 408 × 2 = 0 + 0,838 711 074 816;
  • 55) 0,838 711 074 816 × 2 = 1 + 0,677 422 149 632;
  • 56) 0,677 422 149 632 × 2 = 1 + 0,354 844 299 264;
  • 57) 0,354 844 299 264 × 2 = 0 + 0,709 688 598 528;
  • 58) 0,709 688 598 528 × 2 = 1 + 0,419 377 197 056;
  • 59) 0,419 377 197 056 × 2 = 0 + 0,838 754 394 112;
  • 60) 0,838 754 394 112 × 2 = 1 + 0,677 508 788 224;
  • 61) 0,677 508 788 224 × 2 = 1 + 0,355 017 576 448;
  • 62) 0,355 017 576 448 × 2 = 0 + 0,710 035 152 896;
  • 63) 0,710 035 152 896 × 2 = 1 + 0,420 070 305 792;
  • 64) 0,420 070 305 792 × 2 = 0 + 0,840 140 611 584;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 824(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 824(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 824(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010 =

0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 824 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1100 1010 1001 0110 1010 1011 0101 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 735 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100