-0,000 282 005 856 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 856 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 856 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 856 1| = 0,000 282 005 856 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 856 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 856 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 712 2;
  • 2) 0,000 564 011 712 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 424 4;
  • 3) 0,001 128 023 424 4 × 2 = 0 + 0,002 256 046 848 8;
  • 4) 0,002 256 046 848 8 × 2 = 0 + 0,004 512 093 697 6;
  • 5) 0,004 512 093 697 6 × 2 = 0 + 0,009 024 187 395 2;
  • 6) 0,009 024 187 395 2 × 2 = 0 + 0,018 048 374 790 4;
  • 7) 0,018 048 374 790 4 × 2 = 0 + 0,036 096 749 580 8;
  • 8) 0,036 096 749 580 8 × 2 = 0 + 0,072 193 499 161 6;
  • 9) 0,072 193 499 161 6 × 2 = 0 + 0,144 386 998 323 2;
  • 10) 0,144 386 998 323 2 × 2 = 0 + 0,288 773 996 646 4;
  • 11) 0,288 773 996 646 4 × 2 = 0 + 0,577 547 993 292 8;
  • 12) 0,577 547 993 292 8 × 2 = 1 + 0,155 095 986 585 6;
  • 13) 0,155 095 986 585 6 × 2 = 0 + 0,310 191 973 171 2;
  • 14) 0,310 191 973 171 2 × 2 = 0 + 0,620 383 946 342 4;
  • 15) 0,620 383 946 342 4 × 2 = 1 + 0,240 767 892 684 8;
  • 16) 0,240 767 892 684 8 × 2 = 0 + 0,481 535 785 369 6;
  • 17) 0,481 535 785 369 6 × 2 = 0 + 0,963 071 570 739 2;
  • 18) 0,963 071 570 739 2 × 2 = 1 + 0,926 143 141 478 4;
  • 19) 0,926 143 141 478 4 × 2 = 1 + 0,852 286 282 956 8;
  • 20) 0,852 286 282 956 8 × 2 = 1 + 0,704 572 565 913 6;
  • 21) 0,704 572 565 913 6 × 2 = 1 + 0,409 145 131 827 2;
  • 22) 0,409 145 131 827 2 × 2 = 0 + 0,818 290 263 654 4;
  • 23) 0,818 290 263 654 4 × 2 = 1 + 0,636 580 527 308 8;
  • 24) 0,636 580 527 308 8 × 2 = 1 + 0,273 161 054 617 6;
  • 25) 0,273 161 054 617 6 × 2 = 0 + 0,546 322 109 235 2;
  • 26) 0,546 322 109 235 2 × 2 = 1 + 0,092 644 218 470 4;
  • 27) 0,092 644 218 470 4 × 2 = 0 + 0,185 288 436 940 8;
  • 28) 0,185 288 436 940 8 × 2 = 0 + 0,370 576 873 881 6;
  • 29) 0,370 576 873 881 6 × 2 = 0 + 0,741 153 747 763 2;
  • 30) 0,741 153 747 763 2 × 2 = 1 + 0,482 307 495 526 4;
  • 31) 0,482 307 495 526 4 × 2 = 0 + 0,964 614 991 052 8;
  • 32) 0,964 614 991 052 8 × 2 = 1 + 0,929 229 982 105 6;
  • 33) 0,929 229 982 105 6 × 2 = 1 + 0,858 459 964 211 2;
  • 34) 0,858 459 964 211 2 × 2 = 1 + 0,716 919 928 422 4;
  • 35) 0,716 919 928 422 4 × 2 = 1 + 0,433 839 856 844 8;
  • 36) 0,433 839 856 844 8 × 2 = 0 + 0,867 679 713 689 6;
  • 37) 0,867 679 713 689 6 × 2 = 1 + 0,735 359 427 379 2;
  • 38) 0,735 359 427 379 2 × 2 = 1 + 0,470 718 854 758 4;
  • 39) 0,470 718 854 758 4 × 2 = 0 + 0,941 437 709 516 8;
  • 40) 0,941 437 709 516 8 × 2 = 1 + 0,882 875 419 033 6;
  • 41) 0,882 875 419 033 6 × 2 = 1 + 0,765 750 838 067 2;
  • 42) 0,765 750 838 067 2 × 2 = 1 + 0,531 501 676 134 4;
  • 43) 0,531 501 676 134 4 × 2 = 1 + 0,063 003 352 268 8;
  • 44) 0,063 003 352 268 8 × 2 = 0 + 0,126 006 704 537 6;
  • 45) 0,126 006 704 537 6 × 2 = 0 + 0,252 013 409 075 2;
  • 46) 0,252 013 409 075 2 × 2 = 0 + 0,504 026 818 150 4;
  • 47) 0,504 026 818 150 4 × 2 = 1 + 0,008 053 636 300 8;
  • 48) 0,008 053 636 300 8 × 2 = 0 + 0,016 107 272 601 6;
  • 49) 0,016 107 272 601 6 × 2 = 0 + 0,032 214 545 203 2;
  • 50) 0,032 214 545 203 2 × 2 = 0 + 0,064 429 090 406 4;
  • 51) 0,064 429 090 406 4 × 2 = 0 + 0,128 858 180 812 8;
  • 52) 0,128 858 180 812 8 × 2 = 0 + 0,257 716 361 625 6;
  • 53) 0,257 716 361 625 6 × 2 = 0 + 0,515 432 723 251 2;
  • 54) 0,515 432 723 251 2 × 2 = 1 + 0,030 865 446 502 4;
  • 55) 0,030 865 446 502 4 × 2 = 0 + 0,061 730 893 004 8;
  • 56) 0,061 730 893 004 8 × 2 = 0 + 0,123 461 786 009 6;
  • 57) 0,123 461 786 009 6 × 2 = 0 + 0,246 923 572 019 2;
  • 58) 0,246 923 572 019 2 × 2 = 0 + 0,493 847 144 038 4;
  • 59) 0,493 847 144 038 4 × 2 = 0 + 0,987 694 288 076 8;
  • 60) 0,987 694 288 076 8 × 2 = 1 + 0,975 388 576 153 6;
  • 61) 0,975 388 576 153 6 × 2 = 1 + 0,950 777 152 307 2;
  • 62) 0,950 777 152 307 2 × 2 = 1 + 0,901 554 304 614 4;
  • 63) 0,901 554 304 614 4 × 2 = 1 + 0,803 108 609 228 8;
  • 64) 0,803 108 609 228 8 × 2 = 1 + 0,606 217 218 457 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 856 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 856 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 856 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111 =

0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 856 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1101 1110 0010 0000 0100 0001 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 864 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100