-0,000 282 005 857 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 857 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 857 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 857 4| = 0,000 282 005 857 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 857 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 857 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 714 8;
  • 2) 0,000 564 011 714 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 429 6;
  • 3) 0,001 128 023 429 6 × 2 = 0 + 0,002 256 046 859 2;
  • 4) 0,002 256 046 859 2 × 2 = 0 + 0,004 512 093 718 4;
  • 5) 0,004 512 093 718 4 × 2 = 0 + 0,009 024 187 436 8;
  • 6) 0,009 024 187 436 8 × 2 = 0 + 0,018 048 374 873 6;
  • 7) 0,018 048 374 873 6 × 2 = 0 + 0,036 096 749 747 2;
  • 8) 0,036 096 749 747 2 × 2 = 0 + 0,072 193 499 494 4;
  • 9) 0,072 193 499 494 4 × 2 = 0 + 0,144 386 998 988 8;
  • 10) 0,144 386 998 988 8 × 2 = 0 + 0,288 773 997 977 6;
  • 11) 0,288 773 997 977 6 × 2 = 0 + 0,577 547 995 955 2;
  • 12) 0,577 547 995 955 2 × 2 = 1 + 0,155 095 991 910 4;
  • 13) 0,155 095 991 910 4 × 2 = 0 + 0,310 191 983 820 8;
  • 14) 0,310 191 983 820 8 × 2 = 0 + 0,620 383 967 641 6;
  • 15) 0,620 383 967 641 6 × 2 = 1 + 0,240 767 935 283 2;
  • 16) 0,240 767 935 283 2 × 2 = 0 + 0,481 535 870 566 4;
  • 17) 0,481 535 870 566 4 × 2 = 0 + 0,963 071 741 132 8;
  • 18) 0,963 071 741 132 8 × 2 = 1 + 0,926 143 482 265 6;
  • 19) 0,926 143 482 265 6 × 2 = 1 + 0,852 286 964 531 2;
  • 20) 0,852 286 964 531 2 × 2 = 1 + 0,704 573 929 062 4;
  • 21) 0,704 573 929 062 4 × 2 = 1 + 0,409 147 858 124 8;
  • 22) 0,409 147 858 124 8 × 2 = 0 + 0,818 295 716 249 6;
  • 23) 0,818 295 716 249 6 × 2 = 1 + 0,636 591 432 499 2;
  • 24) 0,636 591 432 499 2 × 2 = 1 + 0,273 182 864 998 4;
  • 25) 0,273 182 864 998 4 × 2 = 0 + 0,546 365 729 996 8;
  • 26) 0,546 365 729 996 8 × 2 = 1 + 0,092 731 459 993 6;
  • 27) 0,092 731 459 993 6 × 2 = 0 + 0,185 462 919 987 2;
  • 28) 0,185 462 919 987 2 × 2 = 0 + 0,370 925 839 974 4;
  • 29) 0,370 925 839 974 4 × 2 = 0 + 0,741 851 679 948 8;
  • 30) 0,741 851 679 948 8 × 2 = 1 + 0,483 703 359 897 6;
  • 31) 0,483 703 359 897 6 × 2 = 0 + 0,967 406 719 795 2;
  • 32) 0,967 406 719 795 2 × 2 = 1 + 0,934 813 439 590 4;
  • 33) 0,934 813 439 590 4 × 2 = 1 + 0,869 626 879 180 8;
  • 34) 0,869 626 879 180 8 × 2 = 1 + 0,739 253 758 361 6;
  • 35) 0,739 253 758 361 6 × 2 = 1 + 0,478 507 516 723 2;
  • 36) 0,478 507 516 723 2 × 2 = 0 + 0,957 015 033 446 4;
  • 37) 0,957 015 033 446 4 × 2 = 1 + 0,914 030 066 892 8;
  • 38) 0,914 030 066 892 8 × 2 = 1 + 0,828 060 133 785 6;
  • 39) 0,828 060 133 785 6 × 2 = 1 + 0,656 120 267 571 2;
  • 40) 0,656 120 267 571 2 × 2 = 1 + 0,312 240 535 142 4;
  • 41) 0,312 240 535 142 4 × 2 = 0 + 0,624 481 070 284 8;
  • 42) 0,624 481 070 284 8 × 2 = 1 + 0,248 962 140 569 6;
  • 43) 0,248 962 140 569 6 × 2 = 0 + 0,497 924 281 139 2;
  • 44) 0,497 924 281 139 2 × 2 = 0 + 0,995 848 562 278 4;
  • 45) 0,995 848 562 278 4 × 2 = 1 + 0,991 697 124 556 8;
  • 46) 0,991 697 124 556 8 × 2 = 1 + 0,983 394 249 113 6;
  • 47) 0,983 394 249 113 6 × 2 = 1 + 0,966 788 498 227 2;
  • 48) 0,966 788 498 227 2 × 2 = 1 + 0,933 576 996 454 4;
  • 49) 0,933 576 996 454 4 × 2 = 1 + 0,867 153 992 908 8;
  • 50) 0,867 153 992 908 8 × 2 = 1 + 0,734 307 985 817 6;
  • 51) 0,734 307 985 817 6 × 2 = 1 + 0,468 615 971 635 2;
  • 52) 0,468 615 971 635 2 × 2 = 0 + 0,937 231 943 270 4;
  • 53) 0,937 231 943 270 4 × 2 = 1 + 0,874 463 886 540 8;
  • 54) 0,874 463 886 540 8 × 2 = 1 + 0,748 927 773 081 6;
  • 55) 0,748 927 773 081 6 × 2 = 1 + 0,497 855 546 163 2;
  • 56) 0,497 855 546 163 2 × 2 = 0 + 0,995 711 092 326 4;
  • 57) 0,995 711 092 326 4 × 2 = 1 + 0,991 422 184 652 8;
  • 58) 0,991 422 184 652 8 × 2 = 1 + 0,982 844 369 305 6;
  • 59) 0,982 844 369 305 6 × 2 = 1 + 0,965 688 738 611 2;
  • 60) 0,965 688 738 611 2 × 2 = 1 + 0,931 377 477 222 4;
  • 61) 0,931 377 477 222 4 × 2 = 1 + 0,862 754 954 444 8;
  • 62) 0,862 754 954 444 8 × 2 = 1 + 0,725 509 908 889 6;
  • 63) 0,725 509 908 889 6 × 2 = 1 + 0,451 019 817 779 2;
  • 64) 0,451 019 817 779 2 × 2 = 0 + 0,902 039 635 558 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 857 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 857 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 857 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110 =

0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 857 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1110 1111 0100 1111 1110 1110 1111 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 853 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100