-0,000 282 005 859 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 859 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 859 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 859 7| = 0,000 282 005 859 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 859 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 859 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 719 4;
  • 2) 0,000 564 011 719 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 438 8;
  • 3) 0,001 128 023 438 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 877 6;
  • 4) 0,002 256 046 877 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 755 2;
  • 5) 0,004 512 093 755 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 510 4;
  • 6) 0,009 024 187 510 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 020 8;
  • 7) 0,018 048 375 020 8 × 2 = 0 + 0,036 096 750 041 6;
  • 8) 0,036 096 750 041 6 × 2 = 0 + 0,072 193 500 083 2;
  • 9) 0,072 193 500 083 2 × 2 = 0 + 0,144 387 000 166 4;
  • 10) 0,144 387 000 166 4 × 2 = 0 + 0,288 774 000 332 8;
  • 11) 0,288 774 000 332 8 × 2 = 0 + 0,577 548 000 665 6;
  • 12) 0,577 548 000 665 6 × 2 = 1 + 0,155 096 001 331 2;
  • 13) 0,155 096 001 331 2 × 2 = 0 + 0,310 192 002 662 4;
  • 14) 0,310 192 002 662 4 × 2 = 0 + 0,620 384 005 324 8;
  • 15) 0,620 384 005 324 8 × 2 = 1 + 0,240 768 010 649 6;
  • 16) 0,240 768 010 649 6 × 2 = 0 + 0,481 536 021 299 2;
  • 17) 0,481 536 021 299 2 × 2 = 0 + 0,963 072 042 598 4;
  • 18) 0,963 072 042 598 4 × 2 = 1 + 0,926 144 085 196 8;
  • 19) 0,926 144 085 196 8 × 2 = 1 + 0,852 288 170 393 6;
  • 20) 0,852 288 170 393 6 × 2 = 1 + 0,704 576 340 787 2;
  • 21) 0,704 576 340 787 2 × 2 = 1 + 0,409 152 681 574 4;
  • 22) 0,409 152 681 574 4 × 2 = 0 + 0,818 305 363 148 8;
  • 23) 0,818 305 363 148 8 × 2 = 1 + 0,636 610 726 297 6;
  • 24) 0,636 610 726 297 6 × 2 = 1 + 0,273 221 452 595 2;
  • 25) 0,273 221 452 595 2 × 2 = 0 + 0,546 442 905 190 4;
  • 26) 0,546 442 905 190 4 × 2 = 1 + 0,092 885 810 380 8;
  • 27) 0,092 885 810 380 8 × 2 = 0 + 0,185 771 620 761 6;
  • 28) 0,185 771 620 761 6 × 2 = 0 + 0,371 543 241 523 2;
  • 29) 0,371 543 241 523 2 × 2 = 0 + 0,743 086 483 046 4;
  • 30) 0,743 086 483 046 4 × 2 = 1 + 0,486 172 966 092 8;
  • 31) 0,486 172 966 092 8 × 2 = 0 + 0,972 345 932 185 6;
  • 32) 0,972 345 932 185 6 × 2 = 1 + 0,944 691 864 371 2;
  • 33) 0,944 691 864 371 2 × 2 = 1 + 0,889 383 728 742 4;
  • 34) 0,889 383 728 742 4 × 2 = 1 + 0,778 767 457 484 8;
  • 35) 0,778 767 457 484 8 × 2 = 1 + 0,557 534 914 969 6;
  • 36) 0,557 534 914 969 6 × 2 = 1 + 0,115 069 829 939 2;
  • 37) 0,115 069 829 939 2 × 2 = 0 + 0,230 139 659 878 4;
  • 38) 0,230 139 659 878 4 × 2 = 0 + 0,460 279 319 756 8;
  • 39) 0,460 279 319 756 8 × 2 = 0 + 0,920 558 639 513 6;
  • 40) 0,920 558 639 513 6 × 2 = 1 + 0,841 117 279 027 2;
  • 41) 0,841 117 279 027 2 × 2 = 1 + 0,682 234 558 054 4;
  • 42) 0,682 234 558 054 4 × 2 = 1 + 0,364 469 116 108 8;
  • 43) 0,364 469 116 108 8 × 2 = 0 + 0,728 938 232 217 6;
  • 44) 0,728 938 232 217 6 × 2 = 1 + 0,457 876 464 435 2;
  • 45) 0,457 876 464 435 2 × 2 = 0 + 0,915 752 928 870 4;
  • 46) 0,915 752 928 870 4 × 2 = 1 + 0,831 505 857 740 8;
  • 47) 0,831 505 857 740 8 × 2 = 1 + 0,663 011 715 481 6;
  • 48) 0,663 011 715 481 6 × 2 = 1 + 0,326 023 430 963 2;
  • 49) 0,326 023 430 963 2 × 2 = 0 + 0,652 046 861 926 4;
  • 50) 0,652 046 861 926 4 × 2 = 1 + 0,304 093 723 852 8;
  • 51) 0,304 093 723 852 8 × 2 = 0 + 0,608 187 447 705 6;
  • 52) 0,608 187 447 705 6 × 2 = 1 + 0,216 374 895 411 2;
  • 53) 0,216 374 895 411 2 × 2 = 0 + 0,432 749 790 822 4;
  • 54) 0,432 749 790 822 4 × 2 = 0 + 0,865 499 581 644 8;
  • 55) 0,865 499 581 644 8 × 2 = 1 + 0,730 999 163 289 6;
  • 56) 0,730 999 163 289 6 × 2 = 1 + 0,461 998 326 579 2;
  • 57) 0,461 998 326 579 2 × 2 = 0 + 0,923 996 653 158 4;
  • 58) 0,923 996 653 158 4 × 2 = 1 + 0,847 993 306 316 8;
  • 59) 0,847 993 306 316 8 × 2 = 1 + 0,695 986 612 633 6;
  • 60) 0,695 986 612 633 6 × 2 = 1 + 0,391 973 225 267 2;
  • 61) 0,391 973 225 267 2 × 2 = 0 + 0,783 946 450 534 4;
  • 62) 0,783 946 450 534 4 × 2 = 1 + 0,567 892 901 068 8;
  • 63) 0,567 892 901 068 8 × 2 = 1 + 0,135 785 802 137 6;
  • 64) 0,135 785 802 137 6 × 2 = 0 + 0,271 571 604 275 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 859 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 859 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 859 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 859 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0001 1101 0111 0101 0011 0111 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 851 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100