-0,000 282 005 860 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 860 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 860 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 860 2| = 0,000 282 005 860 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 860 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 860 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 720 4;
  • 2) 0,000 564 011 720 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 440 8;
  • 3) 0,001 128 023 440 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 881 6;
  • 4) 0,002 256 046 881 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 763 2;
  • 5) 0,004 512 093 763 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 526 4;
  • 6) 0,009 024 187 526 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 052 8;
  • 7) 0,018 048 375 052 8 × 2 = 0 + 0,036 096 750 105 6;
  • 8) 0,036 096 750 105 6 × 2 = 0 + 0,072 193 500 211 2;
  • 9) 0,072 193 500 211 2 × 2 = 0 + 0,144 387 000 422 4;
  • 10) 0,144 387 000 422 4 × 2 = 0 + 0,288 774 000 844 8;
  • 11) 0,288 774 000 844 8 × 2 = 0 + 0,577 548 001 689 6;
  • 12) 0,577 548 001 689 6 × 2 = 1 + 0,155 096 003 379 2;
  • 13) 0,155 096 003 379 2 × 2 = 0 + 0,310 192 006 758 4;
  • 14) 0,310 192 006 758 4 × 2 = 0 + 0,620 384 013 516 8;
  • 15) 0,620 384 013 516 8 × 2 = 1 + 0,240 768 027 033 6;
  • 16) 0,240 768 027 033 6 × 2 = 0 + 0,481 536 054 067 2;
  • 17) 0,481 536 054 067 2 × 2 = 0 + 0,963 072 108 134 4;
  • 18) 0,963 072 108 134 4 × 2 = 1 + 0,926 144 216 268 8;
  • 19) 0,926 144 216 268 8 × 2 = 1 + 0,852 288 432 537 6;
  • 20) 0,852 288 432 537 6 × 2 = 1 + 0,704 576 865 075 2;
  • 21) 0,704 576 865 075 2 × 2 = 1 + 0,409 153 730 150 4;
  • 22) 0,409 153 730 150 4 × 2 = 0 + 0,818 307 460 300 8;
  • 23) 0,818 307 460 300 8 × 2 = 1 + 0,636 614 920 601 6;
  • 24) 0,636 614 920 601 6 × 2 = 1 + 0,273 229 841 203 2;
  • 25) 0,273 229 841 203 2 × 2 = 0 + 0,546 459 682 406 4;
  • 26) 0,546 459 682 406 4 × 2 = 1 + 0,092 919 364 812 8;
  • 27) 0,092 919 364 812 8 × 2 = 0 + 0,185 838 729 625 6;
  • 28) 0,185 838 729 625 6 × 2 = 0 + 0,371 677 459 251 2;
  • 29) 0,371 677 459 251 2 × 2 = 0 + 0,743 354 918 502 4;
  • 30) 0,743 354 918 502 4 × 2 = 1 + 0,486 709 837 004 8;
  • 31) 0,486 709 837 004 8 × 2 = 0 + 0,973 419 674 009 6;
  • 32) 0,973 419 674 009 6 × 2 = 1 + 0,946 839 348 019 2;
  • 33) 0,946 839 348 019 2 × 2 = 1 + 0,893 678 696 038 4;
  • 34) 0,893 678 696 038 4 × 2 = 1 + 0,787 357 392 076 8;
  • 35) 0,787 357 392 076 8 × 2 = 1 + 0,574 714 784 153 6;
  • 36) 0,574 714 784 153 6 × 2 = 1 + 0,149 429 568 307 2;
  • 37) 0,149 429 568 307 2 × 2 = 0 + 0,298 859 136 614 4;
  • 38) 0,298 859 136 614 4 × 2 = 0 + 0,597 718 273 228 8;
  • 39) 0,597 718 273 228 8 × 2 = 1 + 0,195 436 546 457 6;
  • 40) 0,195 436 546 457 6 × 2 = 0 + 0,390 873 092 915 2;
  • 41) 0,390 873 092 915 2 × 2 = 0 + 0,781 746 185 830 4;
  • 42) 0,781 746 185 830 4 × 2 = 1 + 0,563 492 371 660 8;
  • 43) 0,563 492 371 660 8 × 2 = 1 + 0,126 984 743 321 6;
  • 44) 0,126 984 743 321 6 × 2 = 0 + 0,253 969 486 643 2;
  • 45) 0,253 969 486 643 2 × 2 = 0 + 0,507 938 973 286 4;
  • 46) 0,507 938 973 286 4 × 2 = 1 + 0,015 877 946 572 8;
  • 47) 0,015 877 946 572 8 × 2 = 0 + 0,031 755 893 145 6;
  • 48) 0,031 755 893 145 6 × 2 = 0 + 0,063 511 786 291 2;
  • 49) 0,063 511 786 291 2 × 2 = 0 + 0,127 023 572 582 4;
  • 50) 0,127 023 572 582 4 × 2 = 0 + 0,254 047 145 164 8;
  • 51) 0,254 047 145 164 8 × 2 = 0 + 0,508 094 290 329 6;
  • 52) 0,508 094 290 329 6 × 2 = 1 + 0,016 188 580 659 2;
  • 53) 0,016 188 580 659 2 × 2 = 0 + 0,032 377 161 318 4;
  • 54) 0,032 377 161 318 4 × 2 = 0 + 0,064 754 322 636 8;
  • 55) 0,064 754 322 636 8 × 2 = 0 + 0,129 508 645 273 6;
  • 56) 0,129 508 645 273 6 × 2 = 0 + 0,259 017 290 547 2;
  • 57) 0,259 017 290 547 2 × 2 = 0 + 0,518 034 581 094 4;
  • 58) 0,518 034 581 094 4 × 2 = 1 + 0,036 069 162 188 8;
  • 59) 0,036 069 162 188 8 × 2 = 0 + 0,072 138 324 377 6;
  • 60) 0,072 138 324 377 6 × 2 = 0 + 0,144 276 648 755 2;
  • 61) 0,144 276 648 755 2 × 2 = 0 + 0,288 553 297 510 4;
  • 62) 0,288 553 297 510 4 × 2 = 0 + 0,577 106 595 020 8;
  • 63) 0,577 106 595 020 8 × 2 = 1 + 0,154 213 190 041 6;
  • 64) 0,154 213 190 041 6 × 2 = 0 + 0,308 426 380 083 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 860 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 860 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 860 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 860 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0010 0110 0100 0001 0000 0100 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 863 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100