-0,000 282 005 862 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 862 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 862 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 862 2| = 0,000 282 005 862 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 862 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 862 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 724 4;
  • 2) 0,000 564 011 724 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 448 8;
  • 3) 0,001 128 023 448 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 897 6;
  • 4) 0,002 256 046 897 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 795 2;
  • 5) 0,004 512 093 795 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 590 4;
  • 6) 0,009 024 187 590 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 180 8;
  • 7) 0,018 048 375 180 8 × 2 = 0 + 0,036 096 750 361 6;
  • 8) 0,036 096 750 361 6 × 2 = 0 + 0,072 193 500 723 2;
  • 9) 0,072 193 500 723 2 × 2 = 0 + 0,144 387 001 446 4;
  • 10) 0,144 387 001 446 4 × 2 = 0 + 0,288 774 002 892 8;
  • 11) 0,288 774 002 892 8 × 2 = 0 + 0,577 548 005 785 6;
  • 12) 0,577 548 005 785 6 × 2 = 1 + 0,155 096 011 571 2;
  • 13) 0,155 096 011 571 2 × 2 = 0 + 0,310 192 023 142 4;
  • 14) 0,310 192 023 142 4 × 2 = 0 + 0,620 384 046 284 8;
  • 15) 0,620 384 046 284 8 × 2 = 1 + 0,240 768 092 569 6;
  • 16) 0,240 768 092 569 6 × 2 = 0 + 0,481 536 185 139 2;
  • 17) 0,481 536 185 139 2 × 2 = 0 + 0,963 072 370 278 4;
  • 18) 0,963 072 370 278 4 × 2 = 1 + 0,926 144 740 556 8;
  • 19) 0,926 144 740 556 8 × 2 = 1 + 0,852 289 481 113 6;
  • 20) 0,852 289 481 113 6 × 2 = 1 + 0,704 578 962 227 2;
  • 21) 0,704 578 962 227 2 × 2 = 1 + 0,409 157 924 454 4;
  • 22) 0,409 157 924 454 4 × 2 = 0 + 0,818 315 848 908 8;
  • 23) 0,818 315 848 908 8 × 2 = 1 + 0,636 631 697 817 6;
  • 24) 0,636 631 697 817 6 × 2 = 1 + 0,273 263 395 635 2;
  • 25) 0,273 263 395 635 2 × 2 = 0 + 0,546 526 791 270 4;
  • 26) 0,546 526 791 270 4 × 2 = 1 + 0,093 053 582 540 8;
  • 27) 0,093 053 582 540 8 × 2 = 0 + 0,186 107 165 081 6;
  • 28) 0,186 107 165 081 6 × 2 = 0 + 0,372 214 330 163 2;
  • 29) 0,372 214 330 163 2 × 2 = 0 + 0,744 428 660 326 4;
  • 30) 0,744 428 660 326 4 × 2 = 1 + 0,488 857 320 652 8;
  • 31) 0,488 857 320 652 8 × 2 = 0 + 0,977 714 641 305 6;
  • 32) 0,977 714 641 305 6 × 2 = 1 + 0,955 429 282 611 2;
  • 33) 0,955 429 282 611 2 × 2 = 1 + 0,910 858 565 222 4;
  • 34) 0,910 858 565 222 4 × 2 = 1 + 0,821 717 130 444 8;
  • 35) 0,821 717 130 444 8 × 2 = 1 + 0,643 434 260 889 6;
  • 36) 0,643 434 260 889 6 × 2 = 1 + 0,286 868 521 779 2;
  • 37) 0,286 868 521 779 2 × 2 = 0 + 0,573 737 043 558 4;
  • 38) 0,573 737 043 558 4 × 2 = 1 + 0,147 474 087 116 8;
  • 39) 0,147 474 087 116 8 × 2 = 0 + 0,294 948 174 233 6;
  • 40) 0,294 948 174 233 6 × 2 = 0 + 0,589 896 348 467 2;
  • 41) 0,589 896 348 467 2 × 2 = 1 + 0,179 792 696 934 4;
  • 42) 0,179 792 696 934 4 × 2 = 0 + 0,359 585 393 868 8;
  • 43) 0,359 585 393 868 8 × 2 = 0 + 0,719 170 787 737 6;
  • 44) 0,719 170 787 737 6 × 2 = 1 + 0,438 341 575 475 2;
  • 45) 0,438 341 575 475 2 × 2 = 0 + 0,876 683 150 950 4;
  • 46) 0,876 683 150 950 4 × 2 = 1 + 0,753 366 301 900 8;
  • 47) 0,753 366 301 900 8 × 2 = 1 + 0,506 732 603 801 6;
  • 48) 0,506 732 603 801 6 × 2 = 1 + 0,013 465 207 603 2;
  • 49) 0,013 465 207 603 2 × 2 = 0 + 0,026 930 415 206 4;
  • 50) 0,026 930 415 206 4 × 2 = 0 + 0,053 860 830 412 8;
  • 51) 0,053 860 830 412 8 × 2 = 0 + 0,107 721 660 825 6;
  • 52) 0,107 721 660 825 6 × 2 = 0 + 0,215 443 321 651 2;
  • 53) 0,215 443 321 651 2 × 2 = 0 + 0,430 886 643 302 4;
  • 54) 0,430 886 643 302 4 × 2 = 0 + 0,861 773 286 604 8;
  • 55) 0,861 773 286 604 8 × 2 = 1 + 0,723 546 573 209 6;
  • 56) 0,723 546 573 209 6 × 2 = 1 + 0,447 093 146 419 2;
  • 57) 0,447 093 146 419 2 × 2 = 0 + 0,894 186 292 838 4;
  • 58) 0,894 186 292 838 4 × 2 = 1 + 0,788 372 585 676 8;
  • 59) 0,788 372 585 676 8 × 2 = 1 + 0,576 745 171 353 6;
  • 60) 0,576 745 171 353 6 × 2 = 1 + 0,153 490 342 707 2;
  • 61) 0,153 490 342 707 2 × 2 = 0 + 0,306 980 685 414 4;
  • 62) 0,306 980 685 414 4 × 2 = 0 + 0,613 961 370 828 8;
  • 63) 0,613 961 370 828 8 × 2 = 1 + 0,227 922 741 657 6;
  • 64) 0,227 922 741 657 6 × 2 = 0 + 0,455 845 483 315 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 862 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 862 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 862 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 862 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0100 1001 0111 0000 0011 0111 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 861 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100