-0,000 282 005 862 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 862 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 862 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 862 6| = 0,000 282 005 862 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 862 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 862 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 725 2;
  • 2) 0,000 564 011 725 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 450 4;
  • 3) 0,001 128 023 450 4 × 2 = 0 + 0,002 256 046 900 8;
  • 4) 0,002 256 046 900 8 × 2 = 0 + 0,004 512 093 801 6;
  • 5) 0,004 512 093 801 6 × 2 = 0 + 0,009 024 187 603 2;
  • 6) 0,009 024 187 603 2 × 2 = 0 + 0,018 048 375 206 4;
  • 7) 0,018 048 375 206 4 × 2 = 0 + 0,036 096 750 412 8;
  • 8) 0,036 096 750 412 8 × 2 = 0 + 0,072 193 500 825 6;
  • 9) 0,072 193 500 825 6 × 2 = 0 + 0,144 387 001 651 2;
  • 10) 0,144 387 001 651 2 × 2 = 0 + 0,288 774 003 302 4;
  • 11) 0,288 774 003 302 4 × 2 = 0 + 0,577 548 006 604 8;
  • 12) 0,577 548 006 604 8 × 2 = 1 + 0,155 096 013 209 6;
  • 13) 0,155 096 013 209 6 × 2 = 0 + 0,310 192 026 419 2;
  • 14) 0,310 192 026 419 2 × 2 = 0 + 0,620 384 052 838 4;
  • 15) 0,620 384 052 838 4 × 2 = 1 + 0,240 768 105 676 8;
  • 16) 0,240 768 105 676 8 × 2 = 0 + 0,481 536 211 353 6;
  • 17) 0,481 536 211 353 6 × 2 = 0 + 0,963 072 422 707 2;
  • 18) 0,963 072 422 707 2 × 2 = 1 + 0,926 144 845 414 4;
  • 19) 0,926 144 845 414 4 × 2 = 1 + 0,852 289 690 828 8;
  • 20) 0,852 289 690 828 8 × 2 = 1 + 0,704 579 381 657 6;
  • 21) 0,704 579 381 657 6 × 2 = 1 + 0,409 158 763 315 2;
  • 22) 0,409 158 763 315 2 × 2 = 0 + 0,818 317 526 630 4;
  • 23) 0,818 317 526 630 4 × 2 = 1 + 0,636 635 053 260 8;
  • 24) 0,636 635 053 260 8 × 2 = 1 + 0,273 270 106 521 6;
  • 25) 0,273 270 106 521 6 × 2 = 0 + 0,546 540 213 043 2;
  • 26) 0,546 540 213 043 2 × 2 = 1 + 0,093 080 426 086 4;
  • 27) 0,093 080 426 086 4 × 2 = 0 + 0,186 160 852 172 8;
  • 28) 0,186 160 852 172 8 × 2 = 0 + 0,372 321 704 345 6;
  • 29) 0,372 321 704 345 6 × 2 = 0 + 0,744 643 408 691 2;
  • 30) 0,744 643 408 691 2 × 2 = 1 + 0,489 286 817 382 4;
  • 31) 0,489 286 817 382 4 × 2 = 0 + 0,978 573 634 764 8;
  • 32) 0,978 573 634 764 8 × 2 = 1 + 0,957 147 269 529 6;
  • 33) 0,957 147 269 529 6 × 2 = 1 + 0,914 294 539 059 2;
  • 34) 0,914 294 539 059 2 × 2 = 1 + 0,828 589 078 118 4;
  • 35) 0,828 589 078 118 4 × 2 = 1 + 0,657 178 156 236 8;
  • 36) 0,657 178 156 236 8 × 2 = 1 + 0,314 356 312 473 6;
  • 37) 0,314 356 312 473 6 × 2 = 0 + 0,628 712 624 947 2;
  • 38) 0,628 712 624 947 2 × 2 = 1 + 0,257 425 249 894 4;
  • 39) 0,257 425 249 894 4 × 2 = 0 + 0,514 850 499 788 8;
  • 40) 0,514 850 499 788 8 × 2 = 1 + 0,029 700 999 577 6;
  • 41) 0,029 700 999 577 6 × 2 = 0 + 0,059 401 999 155 2;
  • 42) 0,059 401 999 155 2 × 2 = 0 + 0,118 803 998 310 4;
  • 43) 0,118 803 998 310 4 × 2 = 0 + 0,237 607 996 620 8;
  • 44) 0,237 607 996 620 8 × 2 = 0 + 0,475 215 993 241 6;
  • 45) 0,475 215 993 241 6 × 2 = 0 + 0,950 431 986 483 2;
  • 46) 0,950 431 986 483 2 × 2 = 1 + 0,900 863 972 966 4;
  • 47) 0,900 863 972 966 4 × 2 = 1 + 0,801 727 945 932 8;
  • 48) 0,801 727 945 932 8 × 2 = 1 + 0,603 455 891 865 6;
  • 49) 0,603 455 891 865 6 × 2 = 1 + 0,206 911 783 731 2;
  • 50) 0,206 911 783 731 2 × 2 = 0 + 0,413 823 567 462 4;
  • 51) 0,413 823 567 462 4 × 2 = 0 + 0,827 647 134 924 8;
  • 52) 0,827 647 134 924 8 × 2 = 1 + 0,655 294 269 849 6;
  • 53) 0,655 294 269 849 6 × 2 = 1 + 0,310 588 539 699 2;
  • 54) 0,310 588 539 699 2 × 2 = 0 + 0,621 177 079 398 4;
  • 55) 0,621 177 079 398 4 × 2 = 1 + 0,242 354 158 796 8;
  • 56) 0,242 354 158 796 8 × 2 = 0 + 0,484 708 317 593 6;
  • 57) 0,484 708 317 593 6 × 2 = 0 + 0,969 416 635 187 2;
  • 58) 0,969 416 635 187 2 × 2 = 1 + 0,938 833 270 374 4;
  • 59) 0,938 833 270 374 4 × 2 = 1 + 0,877 666 540 748 8;
  • 60) 0,877 666 540 748 8 × 2 = 1 + 0,755 333 081 497 6;
  • 61) 0,755 333 081 497 6 × 2 = 1 + 0,510 666 162 995 2;
  • 62) 0,510 666 162 995 2 × 2 = 1 + 0,021 332 325 990 4;
  • 63) 0,021 332 325 990 4 × 2 = 0 + 0,042 664 651 980 8;
  • 64) 0,042 664 651 980 8 × 2 = 0 + 0,085 329 303 961 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 862 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 862 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 862 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 862 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0101 0000 0111 1001 1010 0111 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 871 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100