-0,000 282 005 865 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 865 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 865 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 865 3| = 0,000 282 005 865 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 865 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 865 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 730 6;
  • 2) 0,000 564 011 730 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 461 2;
  • 3) 0,001 128 023 461 2 × 2 = 0 + 0,002 256 046 922 4;
  • 4) 0,002 256 046 922 4 × 2 = 0 + 0,004 512 093 844 8;
  • 5) 0,004 512 093 844 8 × 2 = 0 + 0,009 024 187 689 6;
  • 6) 0,009 024 187 689 6 × 2 = 0 + 0,018 048 375 379 2;
  • 7) 0,018 048 375 379 2 × 2 = 0 + 0,036 096 750 758 4;
  • 8) 0,036 096 750 758 4 × 2 = 0 + 0,072 193 501 516 8;
  • 9) 0,072 193 501 516 8 × 2 = 0 + 0,144 387 003 033 6;
  • 10) 0,144 387 003 033 6 × 2 = 0 + 0,288 774 006 067 2;
  • 11) 0,288 774 006 067 2 × 2 = 0 + 0,577 548 012 134 4;
  • 12) 0,577 548 012 134 4 × 2 = 1 + 0,155 096 024 268 8;
  • 13) 0,155 096 024 268 8 × 2 = 0 + 0,310 192 048 537 6;
  • 14) 0,310 192 048 537 6 × 2 = 0 + 0,620 384 097 075 2;
  • 15) 0,620 384 097 075 2 × 2 = 1 + 0,240 768 194 150 4;
  • 16) 0,240 768 194 150 4 × 2 = 0 + 0,481 536 388 300 8;
  • 17) 0,481 536 388 300 8 × 2 = 0 + 0,963 072 776 601 6;
  • 18) 0,963 072 776 601 6 × 2 = 1 + 0,926 145 553 203 2;
  • 19) 0,926 145 553 203 2 × 2 = 1 + 0,852 291 106 406 4;
  • 20) 0,852 291 106 406 4 × 2 = 1 + 0,704 582 212 812 8;
  • 21) 0,704 582 212 812 8 × 2 = 1 + 0,409 164 425 625 6;
  • 22) 0,409 164 425 625 6 × 2 = 0 + 0,818 328 851 251 2;
  • 23) 0,818 328 851 251 2 × 2 = 1 + 0,636 657 702 502 4;
  • 24) 0,636 657 702 502 4 × 2 = 1 + 0,273 315 405 004 8;
  • 25) 0,273 315 405 004 8 × 2 = 0 + 0,546 630 810 009 6;
  • 26) 0,546 630 810 009 6 × 2 = 1 + 0,093 261 620 019 2;
  • 27) 0,093 261 620 019 2 × 2 = 0 + 0,186 523 240 038 4;
  • 28) 0,186 523 240 038 4 × 2 = 0 + 0,373 046 480 076 8;
  • 29) 0,373 046 480 076 8 × 2 = 0 + 0,746 092 960 153 6;
  • 30) 0,746 092 960 153 6 × 2 = 1 + 0,492 185 920 307 2;
  • 31) 0,492 185 920 307 2 × 2 = 0 + 0,984 371 840 614 4;
  • 32) 0,984 371 840 614 4 × 2 = 1 + 0,968 743 681 228 8;
  • 33) 0,968 743 681 228 8 × 2 = 1 + 0,937 487 362 457 6;
  • 34) 0,937 487 362 457 6 × 2 = 1 + 0,874 974 724 915 2;
  • 35) 0,874 974 724 915 2 × 2 = 1 + 0,749 949 449 830 4;
  • 36) 0,749 949 449 830 4 × 2 = 1 + 0,499 898 899 660 8;
  • 37) 0,499 898 899 660 8 × 2 = 0 + 0,999 797 799 321 6;
  • 38) 0,999 797 799 321 6 × 2 = 1 + 0,999 595 598 643 2;
  • 39) 0,999 595 598 643 2 × 2 = 1 + 0,999 191 197 286 4;
  • 40) 0,999 191 197 286 4 × 2 = 1 + 0,998 382 394 572 8;
  • 41) 0,998 382 394 572 8 × 2 = 1 + 0,996 764 789 145 6;
  • 42) 0,996 764 789 145 6 × 2 = 1 + 0,993 529 578 291 2;
  • 43) 0,993 529 578 291 2 × 2 = 1 + 0,987 059 156 582 4;
  • 44) 0,987 059 156 582 4 × 2 = 1 + 0,974 118 313 164 8;
  • 45) 0,974 118 313 164 8 × 2 = 1 + 0,948 236 626 329 6;
  • 46) 0,948 236 626 329 6 × 2 = 1 + 0,896 473 252 659 2;
  • 47) 0,896 473 252 659 2 × 2 = 1 + 0,792 946 505 318 4;
  • 48) 0,792 946 505 318 4 × 2 = 1 + 0,585 893 010 636 8;
  • 49) 0,585 893 010 636 8 × 2 = 1 + 0,171 786 021 273 6;
  • 50) 0,171 786 021 273 6 × 2 = 0 + 0,343 572 042 547 2;
  • 51) 0,343 572 042 547 2 × 2 = 0 + 0,687 144 085 094 4;
  • 52) 0,687 144 085 094 4 × 2 = 1 + 0,374 288 170 188 8;
  • 53) 0,374 288 170 188 8 × 2 = 0 + 0,748 576 340 377 6;
  • 54) 0,748 576 340 377 6 × 2 = 1 + 0,497 152 680 755 2;
  • 55) 0,497 152 680 755 2 × 2 = 0 + 0,994 305 361 510 4;
  • 56) 0,994 305 361 510 4 × 2 = 1 + 0,988 610 723 020 8;
  • 57) 0,988 610 723 020 8 × 2 = 1 + 0,977 221 446 041 6;
  • 58) 0,977 221 446 041 6 × 2 = 1 + 0,954 442 892 083 2;
  • 59) 0,954 442 892 083 2 × 2 = 1 + 0,908 885 784 166 4;
  • 60) 0,908 885 784 166 4 × 2 = 1 + 0,817 771 568 332 8;
  • 61) 0,817 771 568 332 8 × 2 = 1 + 0,635 543 136 665 6;
  • 62) 0,635 543 136 665 6 × 2 = 1 + 0,271 086 273 331 2;
  • 63) 0,271 086 273 331 2 × 2 = 0 + 0,542 172 546 662 4;
  • 64) 0,542 172 546 662 4 × 2 = 1 + 0,084 345 093 324 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 865 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 865 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 865 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 865 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 0111 1111 1111 1001 0101 1111 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 871 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100