-0,000 282 005 866 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 866 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 866 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 866 2| = 0,000 282 005 866 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 866 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 866 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 732 4;
  • 2) 0,000 564 011 732 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 464 8;
  • 3) 0,001 128 023 464 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 929 6;
  • 4) 0,002 256 046 929 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 859 2;
  • 5) 0,004 512 093 859 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 718 4;
  • 6) 0,009 024 187 718 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 436 8;
  • 7) 0,018 048 375 436 8 × 2 = 0 + 0,036 096 750 873 6;
  • 8) 0,036 096 750 873 6 × 2 = 0 + 0,072 193 501 747 2;
  • 9) 0,072 193 501 747 2 × 2 = 0 + 0,144 387 003 494 4;
  • 10) 0,144 387 003 494 4 × 2 = 0 + 0,288 774 006 988 8;
  • 11) 0,288 774 006 988 8 × 2 = 0 + 0,577 548 013 977 6;
  • 12) 0,577 548 013 977 6 × 2 = 1 + 0,155 096 027 955 2;
  • 13) 0,155 096 027 955 2 × 2 = 0 + 0,310 192 055 910 4;
  • 14) 0,310 192 055 910 4 × 2 = 0 + 0,620 384 111 820 8;
  • 15) 0,620 384 111 820 8 × 2 = 1 + 0,240 768 223 641 6;
  • 16) 0,240 768 223 641 6 × 2 = 0 + 0,481 536 447 283 2;
  • 17) 0,481 536 447 283 2 × 2 = 0 + 0,963 072 894 566 4;
  • 18) 0,963 072 894 566 4 × 2 = 1 + 0,926 145 789 132 8;
  • 19) 0,926 145 789 132 8 × 2 = 1 + 0,852 291 578 265 6;
  • 20) 0,852 291 578 265 6 × 2 = 1 + 0,704 583 156 531 2;
  • 21) 0,704 583 156 531 2 × 2 = 1 + 0,409 166 313 062 4;
  • 22) 0,409 166 313 062 4 × 2 = 0 + 0,818 332 626 124 8;
  • 23) 0,818 332 626 124 8 × 2 = 1 + 0,636 665 252 249 6;
  • 24) 0,636 665 252 249 6 × 2 = 1 + 0,273 330 504 499 2;
  • 25) 0,273 330 504 499 2 × 2 = 0 + 0,546 661 008 998 4;
  • 26) 0,546 661 008 998 4 × 2 = 1 + 0,093 322 017 996 8;
  • 27) 0,093 322 017 996 8 × 2 = 0 + 0,186 644 035 993 6;
  • 28) 0,186 644 035 993 6 × 2 = 0 + 0,373 288 071 987 2;
  • 29) 0,373 288 071 987 2 × 2 = 0 + 0,746 576 143 974 4;
  • 30) 0,746 576 143 974 4 × 2 = 1 + 0,493 152 287 948 8;
  • 31) 0,493 152 287 948 8 × 2 = 0 + 0,986 304 575 897 6;
  • 32) 0,986 304 575 897 6 × 2 = 1 + 0,972 609 151 795 2;
  • 33) 0,972 609 151 795 2 × 2 = 1 + 0,945 218 303 590 4;
  • 34) 0,945 218 303 590 4 × 2 = 1 + 0,890 436 607 180 8;
  • 35) 0,890 436 607 180 8 × 2 = 1 + 0,780 873 214 361 6;
  • 36) 0,780 873 214 361 6 × 2 = 1 + 0,561 746 428 723 2;
  • 37) 0,561 746 428 723 2 × 2 = 1 + 0,123 492 857 446 4;
  • 38) 0,123 492 857 446 4 × 2 = 0 + 0,246 985 714 892 8;
  • 39) 0,246 985 714 892 8 × 2 = 0 + 0,493 971 429 785 6;
  • 40) 0,493 971 429 785 6 × 2 = 0 + 0,987 942 859 571 2;
  • 41) 0,987 942 859 571 2 × 2 = 1 + 0,975 885 719 142 4;
  • 42) 0,975 885 719 142 4 × 2 = 1 + 0,951 771 438 284 8;
  • 43) 0,951 771 438 284 8 × 2 = 1 + 0,903 542 876 569 6;
  • 44) 0,903 542 876 569 6 × 2 = 1 + 0,807 085 753 139 2;
  • 45) 0,807 085 753 139 2 × 2 = 1 + 0,614 171 506 278 4;
  • 46) 0,614 171 506 278 4 × 2 = 1 + 0,228 343 012 556 8;
  • 47) 0,228 343 012 556 8 × 2 = 0 + 0,456 686 025 113 6;
  • 48) 0,456 686 025 113 6 × 2 = 0 + 0,913 372 050 227 2;
  • 49) 0,913 372 050 227 2 × 2 = 1 + 0,826 744 100 454 4;
  • 50) 0,826 744 100 454 4 × 2 = 1 + 0,653 488 200 908 8;
  • 51) 0,653 488 200 908 8 × 2 = 1 + 0,306 976 401 817 6;
  • 52) 0,306 976 401 817 6 × 2 = 0 + 0,613 952 803 635 2;
  • 53) 0,613 952 803 635 2 × 2 = 1 + 0,227 905 607 270 4;
  • 54) 0,227 905 607 270 4 × 2 = 0 + 0,455 811 214 540 8;
  • 55) 0,455 811 214 540 8 × 2 = 0 + 0,911 622 429 081 6;
  • 56) 0,911 622 429 081 6 × 2 = 1 + 0,823 244 858 163 2;
  • 57) 0,823 244 858 163 2 × 2 = 1 + 0,646 489 716 326 4;
  • 58) 0,646 489 716 326 4 × 2 = 1 + 0,292 979 432 652 8;
  • 59) 0,292 979 432 652 8 × 2 = 0 + 0,585 958 865 305 6;
  • 60) 0,585 958 865 305 6 × 2 = 1 + 0,171 917 730 611 2;
  • 61) 0,171 917 730 611 2 × 2 = 0 + 0,343 835 461 222 4;
  • 62) 0,343 835 461 222 4 × 2 = 0 + 0,687 670 922 444 8;
  • 63) 0,687 670 922 444 8 × 2 = 1 + 0,375 341 844 889 6;
  • 64) 0,375 341 844 889 6 × 2 = 0 + 0,750 683 689 779 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 866 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 866 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 866 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 866 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1000 1111 1100 1110 1001 1101 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 869 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100