-0,000 282 005 866 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 866 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 866 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 866 4| = 0,000 282 005 866 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 866 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 866 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 732 8;
  • 2) 0,000 564 011 732 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 465 6;
  • 3) 0,001 128 023 465 6 × 2 = 0 + 0,002 256 046 931 2;
  • 4) 0,002 256 046 931 2 × 2 = 0 + 0,004 512 093 862 4;
  • 5) 0,004 512 093 862 4 × 2 = 0 + 0,009 024 187 724 8;
  • 6) 0,009 024 187 724 8 × 2 = 0 + 0,018 048 375 449 6;
  • 7) 0,018 048 375 449 6 × 2 = 0 + 0,036 096 750 899 2;
  • 8) 0,036 096 750 899 2 × 2 = 0 + 0,072 193 501 798 4;
  • 9) 0,072 193 501 798 4 × 2 = 0 + 0,144 387 003 596 8;
  • 10) 0,144 387 003 596 8 × 2 = 0 + 0,288 774 007 193 6;
  • 11) 0,288 774 007 193 6 × 2 = 0 + 0,577 548 014 387 2;
  • 12) 0,577 548 014 387 2 × 2 = 1 + 0,155 096 028 774 4;
  • 13) 0,155 096 028 774 4 × 2 = 0 + 0,310 192 057 548 8;
  • 14) 0,310 192 057 548 8 × 2 = 0 + 0,620 384 115 097 6;
  • 15) 0,620 384 115 097 6 × 2 = 1 + 0,240 768 230 195 2;
  • 16) 0,240 768 230 195 2 × 2 = 0 + 0,481 536 460 390 4;
  • 17) 0,481 536 460 390 4 × 2 = 0 + 0,963 072 920 780 8;
  • 18) 0,963 072 920 780 8 × 2 = 1 + 0,926 145 841 561 6;
  • 19) 0,926 145 841 561 6 × 2 = 1 + 0,852 291 683 123 2;
  • 20) 0,852 291 683 123 2 × 2 = 1 + 0,704 583 366 246 4;
  • 21) 0,704 583 366 246 4 × 2 = 1 + 0,409 166 732 492 8;
  • 22) 0,409 166 732 492 8 × 2 = 0 + 0,818 333 464 985 6;
  • 23) 0,818 333 464 985 6 × 2 = 1 + 0,636 666 929 971 2;
  • 24) 0,636 666 929 971 2 × 2 = 1 + 0,273 333 859 942 4;
  • 25) 0,273 333 859 942 4 × 2 = 0 + 0,546 667 719 884 8;
  • 26) 0,546 667 719 884 8 × 2 = 1 + 0,093 335 439 769 6;
  • 27) 0,093 335 439 769 6 × 2 = 0 + 0,186 670 879 539 2;
  • 28) 0,186 670 879 539 2 × 2 = 0 + 0,373 341 759 078 4;
  • 29) 0,373 341 759 078 4 × 2 = 0 + 0,746 683 518 156 8;
  • 30) 0,746 683 518 156 8 × 2 = 1 + 0,493 367 036 313 6;
  • 31) 0,493 367 036 313 6 × 2 = 0 + 0,986 734 072 627 2;
  • 32) 0,986 734 072 627 2 × 2 = 1 + 0,973 468 145 254 4;
  • 33) 0,973 468 145 254 4 × 2 = 1 + 0,946 936 290 508 8;
  • 34) 0,946 936 290 508 8 × 2 = 1 + 0,893 872 581 017 6;
  • 35) 0,893 872 581 017 6 × 2 = 1 + 0,787 745 162 035 2;
  • 36) 0,787 745 162 035 2 × 2 = 1 + 0,575 490 324 070 4;
  • 37) 0,575 490 324 070 4 × 2 = 1 + 0,150 980 648 140 8;
  • 38) 0,150 980 648 140 8 × 2 = 0 + 0,301 961 296 281 6;
  • 39) 0,301 961 296 281 6 × 2 = 0 + 0,603 922 592 563 2;
  • 40) 0,603 922 592 563 2 × 2 = 1 + 0,207 845 185 126 4;
  • 41) 0,207 845 185 126 4 × 2 = 0 + 0,415 690 370 252 8;
  • 42) 0,415 690 370 252 8 × 2 = 0 + 0,831 380 740 505 6;
  • 43) 0,831 380 740 505 6 × 2 = 1 + 0,662 761 481 011 2;
  • 44) 0,662 761 481 011 2 × 2 = 1 + 0,325 522 962 022 4;
  • 45) 0,325 522 962 022 4 × 2 = 0 + 0,651 045 924 044 8;
  • 46) 0,651 045 924 044 8 × 2 = 1 + 0,302 091 848 089 6;
  • 47) 0,302 091 848 089 6 × 2 = 0 + 0,604 183 696 179 2;
  • 48) 0,604 183 696 179 2 × 2 = 1 + 0,208 367 392 358 4;
  • 49) 0,208 367 392 358 4 × 2 = 0 + 0,416 734 784 716 8;
  • 50) 0,416 734 784 716 8 × 2 = 0 + 0,833 469 569 433 6;
  • 51) 0,833 469 569 433 6 × 2 = 1 + 0,666 939 138 867 2;
  • 52) 0,666 939 138 867 2 × 2 = 1 + 0,333 878 277 734 4;
  • 53) 0,333 878 277 734 4 × 2 = 0 + 0,667 756 555 468 8;
  • 54) 0,667 756 555 468 8 × 2 = 1 + 0,335 513 110 937 6;
  • 55) 0,335 513 110 937 6 × 2 = 0 + 0,671 026 221 875 2;
  • 56) 0,671 026 221 875 2 × 2 = 1 + 0,342 052 443 750 4;
  • 57) 0,342 052 443 750 4 × 2 = 0 + 0,684 104 887 500 8;
  • 58) 0,684 104 887 500 8 × 2 = 1 + 0,368 209 775 001 6;
  • 59) 0,368 209 775 001 6 × 2 = 0 + 0,736 419 550 003 2;
  • 60) 0,736 419 550 003 2 × 2 = 1 + 0,472 839 100 006 4;
  • 61) 0,472 839 100 006 4 × 2 = 0 + 0,945 678 200 012 8;
  • 62) 0,945 678 200 012 8 × 2 = 1 + 0,891 356 400 025 6;
  • 63) 0,891 356 400 025 6 × 2 = 1 + 0,782 712 800 051 2;
  • 64) 0,782 712 800 051 2 × 2 = 1 + 0,565 425 600 102 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 866 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 866 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 866 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 866 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1001 0011 0101 0011 0101 0101 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 875 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100