-0,000 282 005 867 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 867 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 867 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 867 4| = 0,000 282 005 867 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 867 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 867 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 734 8;
  • 2) 0,000 564 011 734 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 469 6;
  • 3) 0,001 128 023 469 6 × 2 = 0 + 0,002 256 046 939 2;
  • 4) 0,002 256 046 939 2 × 2 = 0 + 0,004 512 093 878 4;
  • 5) 0,004 512 093 878 4 × 2 = 0 + 0,009 024 187 756 8;
  • 6) 0,009 024 187 756 8 × 2 = 0 + 0,018 048 375 513 6;
  • 7) 0,018 048 375 513 6 × 2 = 0 + 0,036 096 751 027 2;
  • 8) 0,036 096 751 027 2 × 2 = 0 + 0,072 193 502 054 4;
  • 9) 0,072 193 502 054 4 × 2 = 0 + 0,144 387 004 108 8;
  • 10) 0,144 387 004 108 8 × 2 = 0 + 0,288 774 008 217 6;
  • 11) 0,288 774 008 217 6 × 2 = 0 + 0,577 548 016 435 2;
  • 12) 0,577 548 016 435 2 × 2 = 1 + 0,155 096 032 870 4;
  • 13) 0,155 096 032 870 4 × 2 = 0 + 0,310 192 065 740 8;
  • 14) 0,310 192 065 740 8 × 2 = 0 + 0,620 384 131 481 6;
  • 15) 0,620 384 131 481 6 × 2 = 1 + 0,240 768 262 963 2;
  • 16) 0,240 768 262 963 2 × 2 = 0 + 0,481 536 525 926 4;
  • 17) 0,481 536 525 926 4 × 2 = 0 + 0,963 073 051 852 8;
  • 18) 0,963 073 051 852 8 × 2 = 1 + 0,926 146 103 705 6;
  • 19) 0,926 146 103 705 6 × 2 = 1 + 0,852 292 207 411 2;
  • 20) 0,852 292 207 411 2 × 2 = 1 + 0,704 584 414 822 4;
  • 21) 0,704 584 414 822 4 × 2 = 1 + 0,409 168 829 644 8;
  • 22) 0,409 168 829 644 8 × 2 = 0 + 0,818 337 659 289 6;
  • 23) 0,818 337 659 289 6 × 2 = 1 + 0,636 675 318 579 2;
  • 24) 0,636 675 318 579 2 × 2 = 1 + 0,273 350 637 158 4;
  • 25) 0,273 350 637 158 4 × 2 = 0 + 0,546 701 274 316 8;
  • 26) 0,546 701 274 316 8 × 2 = 1 + 0,093 402 548 633 6;
  • 27) 0,093 402 548 633 6 × 2 = 0 + 0,186 805 097 267 2;
  • 28) 0,186 805 097 267 2 × 2 = 0 + 0,373 610 194 534 4;
  • 29) 0,373 610 194 534 4 × 2 = 0 + 0,747 220 389 068 8;
  • 30) 0,747 220 389 068 8 × 2 = 1 + 0,494 440 778 137 6;
  • 31) 0,494 440 778 137 6 × 2 = 0 + 0,988 881 556 275 2;
  • 32) 0,988 881 556 275 2 × 2 = 1 + 0,977 763 112 550 4;
  • 33) 0,977 763 112 550 4 × 2 = 1 + 0,955 526 225 100 8;
  • 34) 0,955 526 225 100 8 × 2 = 1 + 0,911 052 450 201 6;
  • 35) 0,911 052 450 201 6 × 2 = 1 + 0,822 104 900 403 2;
  • 36) 0,822 104 900 403 2 × 2 = 1 + 0,644 209 800 806 4;
  • 37) 0,644 209 800 806 4 × 2 = 1 + 0,288 419 601 612 8;
  • 38) 0,288 419 601 612 8 × 2 = 0 + 0,576 839 203 225 6;
  • 39) 0,576 839 203 225 6 × 2 = 1 + 0,153 678 406 451 2;
  • 40) 0,153 678 406 451 2 × 2 = 0 + 0,307 356 812 902 4;
  • 41) 0,307 356 812 902 4 × 2 = 0 + 0,614 713 625 804 8;
  • 42) 0,614 713 625 804 8 × 2 = 1 + 0,229 427 251 609 6;
  • 43) 0,229 427 251 609 6 × 2 = 0 + 0,458 854 503 219 2;
  • 44) 0,458 854 503 219 2 × 2 = 0 + 0,917 709 006 438 4;
  • 45) 0,917 709 006 438 4 × 2 = 1 + 0,835 418 012 876 8;
  • 46) 0,835 418 012 876 8 × 2 = 1 + 0,670 836 025 753 6;
  • 47) 0,670 836 025 753 6 × 2 = 1 + 0,341 672 051 507 2;
  • 48) 0,341 672 051 507 2 × 2 = 0 + 0,683 344 103 014 4;
  • 49) 0,683 344 103 014 4 × 2 = 1 + 0,366 688 206 028 8;
  • 50) 0,366 688 206 028 8 × 2 = 0 + 0,733 376 412 057 6;
  • 51) 0,733 376 412 057 6 × 2 = 1 + 0,466 752 824 115 2;
  • 52) 0,466 752 824 115 2 × 2 = 0 + 0,933 505 648 230 4;
  • 53) 0,933 505 648 230 4 × 2 = 1 + 0,867 011 296 460 8;
  • 54) 0,867 011 296 460 8 × 2 = 1 + 0,734 022 592 921 6;
  • 55) 0,734 022 592 921 6 × 2 = 1 + 0,468 045 185 843 2;
  • 56) 0,468 045 185 843 2 × 2 = 0 + 0,936 090 371 686 4;
  • 57) 0,936 090 371 686 4 × 2 = 1 + 0,872 180 743 372 8;
  • 58) 0,872 180 743 372 8 × 2 = 1 + 0,744 361 486 745 6;
  • 59) 0,744 361 486 745 6 × 2 = 1 + 0,488 722 973 491 2;
  • 60) 0,488 722 973 491 2 × 2 = 0 + 0,977 445 946 982 4;
  • 61) 0,977 445 946 982 4 × 2 = 1 + 0,954 891 893 964 8;
  • 62) 0,954 891 893 964 8 × 2 = 1 + 0,909 783 787 929 6;
  • 63) 0,909 783 787 929 6 × 2 = 1 + 0,819 567 575 859 2;
  • 64) 0,819 567 575 859 2 × 2 = 1 + 0,639 135 151 718 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 867 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 867 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 867 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 867 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 0100 1110 1010 1110 1110 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 859 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100