-0,000 282 005 867 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 867 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 867 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 867 6| = 0,000 282 005 867 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 867 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 867 6 × 2 = 0 + 0,000 564 011 735 2;
  • 2) 0,000 564 011 735 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 470 4;
  • 3) 0,001 128 023 470 4 × 2 = 0 + 0,002 256 046 940 8;
  • 4) 0,002 256 046 940 8 × 2 = 0 + 0,004 512 093 881 6;
  • 5) 0,004 512 093 881 6 × 2 = 0 + 0,009 024 187 763 2;
  • 6) 0,009 024 187 763 2 × 2 = 0 + 0,018 048 375 526 4;
  • 7) 0,018 048 375 526 4 × 2 = 0 + 0,036 096 751 052 8;
  • 8) 0,036 096 751 052 8 × 2 = 0 + 0,072 193 502 105 6;
  • 9) 0,072 193 502 105 6 × 2 = 0 + 0,144 387 004 211 2;
  • 10) 0,144 387 004 211 2 × 2 = 0 + 0,288 774 008 422 4;
  • 11) 0,288 774 008 422 4 × 2 = 0 + 0,577 548 016 844 8;
  • 12) 0,577 548 016 844 8 × 2 = 1 + 0,155 096 033 689 6;
  • 13) 0,155 096 033 689 6 × 2 = 0 + 0,310 192 067 379 2;
  • 14) 0,310 192 067 379 2 × 2 = 0 + 0,620 384 134 758 4;
  • 15) 0,620 384 134 758 4 × 2 = 1 + 0,240 768 269 516 8;
  • 16) 0,240 768 269 516 8 × 2 = 0 + 0,481 536 539 033 6;
  • 17) 0,481 536 539 033 6 × 2 = 0 + 0,963 073 078 067 2;
  • 18) 0,963 073 078 067 2 × 2 = 1 + 0,926 146 156 134 4;
  • 19) 0,926 146 156 134 4 × 2 = 1 + 0,852 292 312 268 8;
  • 20) 0,852 292 312 268 8 × 2 = 1 + 0,704 584 624 537 6;
  • 21) 0,704 584 624 537 6 × 2 = 1 + 0,409 169 249 075 2;
  • 22) 0,409 169 249 075 2 × 2 = 0 + 0,818 338 498 150 4;
  • 23) 0,818 338 498 150 4 × 2 = 1 + 0,636 676 996 300 8;
  • 24) 0,636 676 996 300 8 × 2 = 1 + 0,273 353 992 601 6;
  • 25) 0,273 353 992 601 6 × 2 = 0 + 0,546 707 985 203 2;
  • 26) 0,546 707 985 203 2 × 2 = 1 + 0,093 415 970 406 4;
  • 27) 0,093 415 970 406 4 × 2 = 0 + 0,186 831 940 812 8;
  • 28) 0,186 831 940 812 8 × 2 = 0 + 0,373 663 881 625 6;
  • 29) 0,373 663 881 625 6 × 2 = 0 + 0,747 327 763 251 2;
  • 30) 0,747 327 763 251 2 × 2 = 1 + 0,494 655 526 502 4;
  • 31) 0,494 655 526 502 4 × 2 = 0 + 0,989 311 053 004 8;
  • 32) 0,989 311 053 004 8 × 2 = 1 + 0,978 622 106 009 6;
  • 33) 0,978 622 106 009 6 × 2 = 1 + 0,957 244 212 019 2;
  • 34) 0,957 244 212 019 2 × 2 = 1 + 0,914 488 424 038 4;
  • 35) 0,914 488 424 038 4 × 2 = 1 + 0,828 976 848 076 8;
  • 36) 0,828 976 848 076 8 × 2 = 1 + 0,657 953 696 153 6;
  • 37) 0,657 953 696 153 6 × 2 = 1 + 0,315 907 392 307 2;
  • 38) 0,315 907 392 307 2 × 2 = 0 + 0,631 814 784 614 4;
  • 39) 0,631 814 784 614 4 × 2 = 1 + 0,263 629 569 228 8;
  • 40) 0,263 629 569 228 8 × 2 = 0 + 0,527 259 138 457 6;
  • 41) 0,527 259 138 457 6 × 2 = 1 + 0,054 518 276 915 2;
  • 42) 0,054 518 276 915 2 × 2 = 0 + 0,109 036 553 830 4;
  • 43) 0,109 036 553 830 4 × 2 = 0 + 0,218 073 107 660 8;
  • 44) 0,218 073 107 660 8 × 2 = 0 + 0,436 146 215 321 6;
  • 45) 0,436 146 215 321 6 × 2 = 0 + 0,872 292 430 643 2;
  • 46) 0,872 292 430 643 2 × 2 = 1 + 0,744 584 861 286 4;
  • 47) 0,744 584 861 286 4 × 2 = 1 + 0,489 169 722 572 8;
  • 48) 0,489 169 722 572 8 × 2 = 0 + 0,978 339 445 145 6;
  • 49) 0,978 339 445 145 6 × 2 = 1 + 0,956 678 890 291 2;
  • 50) 0,956 678 890 291 2 × 2 = 1 + 0,913 357 780 582 4;
  • 51) 0,913 357 780 582 4 × 2 = 1 + 0,826 715 561 164 8;
  • 52) 0,826 715 561 164 8 × 2 = 1 + 0,653 431 122 329 6;
  • 53) 0,653 431 122 329 6 × 2 = 1 + 0,306 862 244 659 2;
  • 54) 0,306 862 244 659 2 × 2 = 0 + 0,613 724 489 318 4;
  • 55) 0,613 724 489 318 4 × 2 = 1 + 0,227 448 978 636 8;
  • 56) 0,227 448 978 636 8 × 2 = 0 + 0,454 897 957 273 6;
  • 57) 0,454 897 957 273 6 × 2 = 0 + 0,909 795 914 547 2;
  • 58) 0,909 795 914 547 2 × 2 = 1 + 0,819 591 829 094 4;
  • 59) 0,819 591 829 094 4 × 2 = 1 + 0,639 183 658 188 8;
  • 60) 0,639 183 658 188 8 × 2 = 1 + 0,278 367 316 377 6;
  • 61) 0,278 367 316 377 6 × 2 = 0 + 0,556 734 632 755 2;
  • 62) 0,556 734 632 755 2 × 2 = 1 + 0,113 469 265 510 4;
  • 63) 0,113 469 265 510 4 × 2 = 0 + 0,226 938 531 020 8;
  • 64) 0,226 938 531 020 8 × 2 = 0 + 0,453 877 062 041 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 867 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 867 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 867 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 867 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1010 1000 0110 1111 1010 0111 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 861 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100