-0,000 282 005 868 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 868 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 868 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 868 3| = 0,000 282 005 868 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 868 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 868 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 736 6;
  • 2) 0,000 564 011 736 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 473 2;
  • 3) 0,001 128 023 473 2 × 2 = 0 + 0,002 256 046 946 4;
  • 4) 0,002 256 046 946 4 × 2 = 0 + 0,004 512 093 892 8;
  • 5) 0,004 512 093 892 8 × 2 = 0 + 0,009 024 187 785 6;
  • 6) 0,009 024 187 785 6 × 2 = 0 + 0,018 048 375 571 2;
  • 7) 0,018 048 375 571 2 × 2 = 0 + 0,036 096 751 142 4;
  • 8) 0,036 096 751 142 4 × 2 = 0 + 0,072 193 502 284 8;
  • 9) 0,072 193 502 284 8 × 2 = 0 + 0,144 387 004 569 6;
  • 10) 0,144 387 004 569 6 × 2 = 0 + 0,288 774 009 139 2;
  • 11) 0,288 774 009 139 2 × 2 = 0 + 0,577 548 018 278 4;
  • 12) 0,577 548 018 278 4 × 2 = 1 + 0,155 096 036 556 8;
  • 13) 0,155 096 036 556 8 × 2 = 0 + 0,310 192 073 113 6;
  • 14) 0,310 192 073 113 6 × 2 = 0 + 0,620 384 146 227 2;
  • 15) 0,620 384 146 227 2 × 2 = 1 + 0,240 768 292 454 4;
  • 16) 0,240 768 292 454 4 × 2 = 0 + 0,481 536 584 908 8;
  • 17) 0,481 536 584 908 8 × 2 = 0 + 0,963 073 169 817 6;
  • 18) 0,963 073 169 817 6 × 2 = 1 + 0,926 146 339 635 2;
  • 19) 0,926 146 339 635 2 × 2 = 1 + 0,852 292 679 270 4;
  • 20) 0,852 292 679 270 4 × 2 = 1 + 0,704 585 358 540 8;
  • 21) 0,704 585 358 540 8 × 2 = 1 + 0,409 170 717 081 6;
  • 22) 0,409 170 717 081 6 × 2 = 0 + 0,818 341 434 163 2;
  • 23) 0,818 341 434 163 2 × 2 = 1 + 0,636 682 868 326 4;
  • 24) 0,636 682 868 326 4 × 2 = 1 + 0,273 365 736 652 8;
  • 25) 0,273 365 736 652 8 × 2 = 0 + 0,546 731 473 305 6;
  • 26) 0,546 731 473 305 6 × 2 = 1 + 0,093 462 946 611 2;
  • 27) 0,093 462 946 611 2 × 2 = 0 + 0,186 925 893 222 4;
  • 28) 0,186 925 893 222 4 × 2 = 0 + 0,373 851 786 444 8;
  • 29) 0,373 851 786 444 8 × 2 = 0 + 0,747 703 572 889 6;
  • 30) 0,747 703 572 889 6 × 2 = 1 + 0,495 407 145 779 2;
  • 31) 0,495 407 145 779 2 × 2 = 0 + 0,990 814 291 558 4;
  • 32) 0,990 814 291 558 4 × 2 = 1 + 0,981 628 583 116 8;
  • 33) 0,981 628 583 116 8 × 2 = 1 + 0,963 257 166 233 6;
  • 34) 0,963 257 166 233 6 × 2 = 1 + 0,926 514 332 467 2;
  • 35) 0,926 514 332 467 2 × 2 = 1 + 0,853 028 664 934 4;
  • 36) 0,853 028 664 934 4 × 2 = 1 + 0,706 057 329 868 8;
  • 37) 0,706 057 329 868 8 × 2 = 1 + 0,412 114 659 737 6;
  • 38) 0,412 114 659 737 6 × 2 = 0 + 0,824 229 319 475 2;
  • 39) 0,824 229 319 475 2 × 2 = 1 + 0,648 458 638 950 4;
  • 40) 0,648 458 638 950 4 × 2 = 1 + 0,296 917 277 900 8;
  • 41) 0,296 917 277 900 8 × 2 = 0 + 0,593 834 555 801 6;
  • 42) 0,593 834 555 801 6 × 2 = 1 + 0,187 669 111 603 2;
  • 43) 0,187 669 111 603 2 × 2 = 0 + 0,375 338 223 206 4;
  • 44) 0,375 338 223 206 4 × 2 = 0 + 0,750 676 446 412 8;
  • 45) 0,750 676 446 412 8 × 2 = 1 + 0,501 352 892 825 6;
  • 46) 0,501 352 892 825 6 × 2 = 1 + 0,002 705 785 651 2;
  • 47) 0,002 705 785 651 2 × 2 = 0 + 0,005 411 571 302 4;
  • 48) 0,005 411 571 302 4 × 2 = 0 + 0,010 823 142 604 8;
  • 49) 0,010 823 142 604 8 × 2 = 0 + 0,021 646 285 209 6;
  • 50) 0,021 646 285 209 6 × 2 = 0 + 0,043 292 570 419 2;
  • 51) 0,043 292 570 419 2 × 2 = 0 + 0,086 585 140 838 4;
  • 52) 0,086 585 140 838 4 × 2 = 0 + 0,173 170 281 676 8;
  • 53) 0,173 170 281 676 8 × 2 = 0 + 0,346 340 563 353 6;
  • 54) 0,346 340 563 353 6 × 2 = 0 + 0,692 681 126 707 2;
  • 55) 0,692 681 126 707 2 × 2 = 1 + 0,385 362 253 414 4;
  • 56) 0,385 362 253 414 4 × 2 = 0 + 0,770 724 506 828 8;
  • 57) 0,770 724 506 828 8 × 2 = 1 + 0,541 449 013 657 6;
  • 58) 0,541 449 013 657 6 × 2 = 1 + 0,082 898 027 315 2;
  • 59) 0,082 898 027 315 2 × 2 = 0 + 0,165 796 054 630 4;
  • 60) 0,165 796 054 630 4 × 2 = 0 + 0,331 592 109 260 8;
  • 61) 0,331 592 109 260 8 × 2 = 0 + 0,663 184 218 521 6;
  • 62) 0,663 184 218 521 6 × 2 = 1 + 0,326 368 437 043 2;
  • 63) 0,326 368 437 043 2 × 2 = 0 + 0,652 736 874 086 4;
  • 64) 0,652 736 874 086 4 × 2 = 1 + 0,305 473 748 172 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 868 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 868 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 868 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 868 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1011 0100 1100 0000 0010 1100 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 868 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100