-0,000 282 005 869 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 869 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 869 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 869 2| = 0,000 282 005 869 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 869 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 869 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 738 4;
  • 2) 0,000 564 011 738 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 476 8;
  • 3) 0,001 128 023 476 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 953 6;
  • 4) 0,002 256 046 953 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 907 2;
  • 5) 0,004 512 093 907 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 814 4;
  • 6) 0,009 024 187 814 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 628 8;
  • 7) 0,018 048 375 628 8 × 2 = 0 + 0,036 096 751 257 6;
  • 8) 0,036 096 751 257 6 × 2 = 0 + 0,072 193 502 515 2;
  • 9) 0,072 193 502 515 2 × 2 = 0 + 0,144 387 005 030 4;
  • 10) 0,144 387 005 030 4 × 2 = 0 + 0,288 774 010 060 8;
  • 11) 0,288 774 010 060 8 × 2 = 0 + 0,577 548 020 121 6;
  • 12) 0,577 548 020 121 6 × 2 = 1 + 0,155 096 040 243 2;
  • 13) 0,155 096 040 243 2 × 2 = 0 + 0,310 192 080 486 4;
  • 14) 0,310 192 080 486 4 × 2 = 0 + 0,620 384 160 972 8;
  • 15) 0,620 384 160 972 8 × 2 = 1 + 0,240 768 321 945 6;
  • 16) 0,240 768 321 945 6 × 2 = 0 + 0,481 536 643 891 2;
  • 17) 0,481 536 643 891 2 × 2 = 0 + 0,963 073 287 782 4;
  • 18) 0,963 073 287 782 4 × 2 = 1 + 0,926 146 575 564 8;
  • 19) 0,926 146 575 564 8 × 2 = 1 + 0,852 293 151 129 6;
  • 20) 0,852 293 151 129 6 × 2 = 1 + 0,704 586 302 259 2;
  • 21) 0,704 586 302 259 2 × 2 = 1 + 0,409 172 604 518 4;
  • 22) 0,409 172 604 518 4 × 2 = 0 + 0,818 345 209 036 8;
  • 23) 0,818 345 209 036 8 × 2 = 1 + 0,636 690 418 073 6;
  • 24) 0,636 690 418 073 6 × 2 = 1 + 0,273 380 836 147 2;
  • 25) 0,273 380 836 147 2 × 2 = 0 + 0,546 761 672 294 4;
  • 26) 0,546 761 672 294 4 × 2 = 1 + 0,093 523 344 588 8;
  • 27) 0,093 523 344 588 8 × 2 = 0 + 0,187 046 689 177 6;
  • 28) 0,187 046 689 177 6 × 2 = 0 + 0,374 093 378 355 2;
  • 29) 0,374 093 378 355 2 × 2 = 0 + 0,748 186 756 710 4;
  • 30) 0,748 186 756 710 4 × 2 = 1 + 0,496 373 513 420 8;
  • 31) 0,496 373 513 420 8 × 2 = 0 + 0,992 747 026 841 6;
  • 32) 0,992 747 026 841 6 × 2 = 1 + 0,985 494 053 683 2;
  • 33) 0,985 494 053 683 2 × 2 = 1 + 0,970 988 107 366 4;
  • 34) 0,970 988 107 366 4 × 2 = 1 + 0,941 976 214 732 8;
  • 35) 0,941 976 214 732 8 × 2 = 1 + 0,883 952 429 465 6;
  • 36) 0,883 952 429 465 6 × 2 = 1 + 0,767 904 858 931 2;
  • 37) 0,767 904 858 931 2 × 2 = 1 + 0,535 809 717 862 4;
  • 38) 0,535 809 717 862 4 × 2 = 1 + 0,071 619 435 724 8;
  • 39) 0,071 619 435 724 8 × 2 = 0 + 0,143 238 871 449 6;
  • 40) 0,143 238 871 449 6 × 2 = 0 + 0,286 477 742 899 2;
  • 41) 0,286 477 742 899 2 × 2 = 0 + 0,572 955 485 798 4;
  • 42) 0,572 955 485 798 4 × 2 = 1 + 0,145 910 971 596 8;
  • 43) 0,145 910 971 596 8 × 2 = 0 + 0,291 821 943 193 6;
  • 44) 0,291 821 943 193 6 × 2 = 0 + 0,583 643 886 387 2;
  • 45) 0,583 643 886 387 2 × 2 = 1 + 0,167 287 772 774 4;
  • 46) 0,167 287 772 774 4 × 2 = 0 + 0,334 575 545 548 8;
  • 47) 0,334 575 545 548 8 × 2 = 0 + 0,669 151 091 097 6;
  • 48) 0,669 151 091 097 6 × 2 = 1 + 0,338 302 182 195 2;
  • 49) 0,338 302 182 195 2 × 2 = 0 + 0,676 604 364 390 4;
  • 50) 0,676 604 364 390 4 × 2 = 1 + 0,353 208 728 780 8;
  • 51) 0,353 208 728 780 8 × 2 = 0 + 0,706 417 457 561 6;
  • 52) 0,706 417 457 561 6 × 2 = 1 + 0,412 834 915 123 2;
  • 53) 0,412 834 915 123 2 × 2 = 0 + 0,825 669 830 246 4;
  • 54) 0,825 669 830 246 4 × 2 = 1 + 0,651 339 660 492 8;
  • 55) 0,651 339 660 492 8 × 2 = 1 + 0,302 679 320 985 6;
  • 56) 0,302 679 320 985 6 × 2 = 0 + 0,605 358 641 971 2;
  • 57) 0,605 358 641 971 2 × 2 = 1 + 0,210 717 283 942 4;
  • 58) 0,210 717 283 942 4 × 2 = 0 + 0,421 434 567 884 8;
  • 59) 0,421 434 567 884 8 × 2 = 0 + 0,842 869 135 769 6;
  • 60) 0,842 869 135 769 6 × 2 = 1 + 0,685 738 271 539 2;
  • 61) 0,685 738 271 539 2 × 2 = 1 + 0,371 476 543 078 4;
  • 62) 0,371 476 543 078 4 × 2 = 0 + 0,742 953 086 156 8;
  • 63) 0,742 953 086 156 8 × 2 = 1 + 0,485 906 172 313 6;
  • 64) 0,485 906 172 313 6 × 2 = 0 + 0,971 812 344 627 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 869 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 869 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 869 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 869 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 0100 1001 0101 0110 1001 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 875 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100