-0,000 282 005 869 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 869 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 869 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 869 7| = 0,000 282 005 869 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 869 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 869 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 739 4;
  • 2) 0,000 564 011 739 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 478 8;
  • 3) 0,001 128 023 478 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 957 6;
  • 4) 0,002 256 046 957 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 915 2;
  • 5) 0,004 512 093 915 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 830 4;
  • 6) 0,009 024 187 830 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 660 8;
  • 7) 0,018 048 375 660 8 × 2 = 0 + 0,036 096 751 321 6;
  • 8) 0,036 096 751 321 6 × 2 = 0 + 0,072 193 502 643 2;
  • 9) 0,072 193 502 643 2 × 2 = 0 + 0,144 387 005 286 4;
  • 10) 0,144 387 005 286 4 × 2 = 0 + 0,288 774 010 572 8;
  • 11) 0,288 774 010 572 8 × 2 = 0 + 0,577 548 021 145 6;
  • 12) 0,577 548 021 145 6 × 2 = 1 + 0,155 096 042 291 2;
  • 13) 0,155 096 042 291 2 × 2 = 0 + 0,310 192 084 582 4;
  • 14) 0,310 192 084 582 4 × 2 = 0 + 0,620 384 169 164 8;
  • 15) 0,620 384 169 164 8 × 2 = 1 + 0,240 768 338 329 6;
  • 16) 0,240 768 338 329 6 × 2 = 0 + 0,481 536 676 659 2;
  • 17) 0,481 536 676 659 2 × 2 = 0 + 0,963 073 353 318 4;
  • 18) 0,963 073 353 318 4 × 2 = 1 + 0,926 146 706 636 8;
  • 19) 0,926 146 706 636 8 × 2 = 1 + 0,852 293 413 273 6;
  • 20) 0,852 293 413 273 6 × 2 = 1 + 0,704 586 826 547 2;
  • 21) 0,704 586 826 547 2 × 2 = 1 + 0,409 173 653 094 4;
  • 22) 0,409 173 653 094 4 × 2 = 0 + 0,818 347 306 188 8;
  • 23) 0,818 347 306 188 8 × 2 = 1 + 0,636 694 612 377 6;
  • 24) 0,636 694 612 377 6 × 2 = 1 + 0,273 389 224 755 2;
  • 25) 0,273 389 224 755 2 × 2 = 0 + 0,546 778 449 510 4;
  • 26) 0,546 778 449 510 4 × 2 = 1 + 0,093 556 899 020 8;
  • 27) 0,093 556 899 020 8 × 2 = 0 + 0,187 113 798 041 6;
  • 28) 0,187 113 798 041 6 × 2 = 0 + 0,374 227 596 083 2;
  • 29) 0,374 227 596 083 2 × 2 = 0 + 0,748 455 192 166 4;
  • 30) 0,748 455 192 166 4 × 2 = 1 + 0,496 910 384 332 8;
  • 31) 0,496 910 384 332 8 × 2 = 0 + 0,993 820 768 665 6;
  • 32) 0,993 820 768 665 6 × 2 = 1 + 0,987 641 537 331 2;
  • 33) 0,987 641 537 331 2 × 2 = 1 + 0,975 283 074 662 4;
  • 34) 0,975 283 074 662 4 × 2 = 1 + 0,950 566 149 324 8;
  • 35) 0,950 566 149 324 8 × 2 = 1 + 0,901 132 298 649 6;
  • 36) 0,901 132 298 649 6 × 2 = 1 + 0,802 264 597 299 2;
  • 37) 0,802 264 597 299 2 × 2 = 1 + 0,604 529 194 598 4;
  • 38) 0,604 529 194 598 4 × 2 = 1 + 0,209 058 389 196 8;
  • 39) 0,209 058 389 196 8 × 2 = 0 + 0,418 116 778 393 6;
  • 40) 0,418 116 778 393 6 × 2 = 0 + 0,836 233 556 787 2;
  • 41) 0,836 233 556 787 2 × 2 = 1 + 0,672 467 113 574 4;
  • 42) 0,672 467 113 574 4 × 2 = 1 + 0,344 934 227 148 8;
  • 43) 0,344 934 227 148 8 × 2 = 0 + 0,689 868 454 297 6;
  • 44) 0,689 868 454 297 6 × 2 = 1 + 0,379 736 908 595 2;
  • 45) 0,379 736 908 595 2 × 2 = 0 + 0,759 473 817 190 4;
  • 46) 0,759 473 817 190 4 × 2 = 1 + 0,518 947 634 380 8;
  • 47) 0,518 947 634 380 8 × 2 = 1 + 0,037 895 268 761 6;
  • 48) 0,037 895 268 761 6 × 2 = 0 + 0,075 790 537 523 2;
  • 49) 0,075 790 537 523 2 × 2 = 0 + 0,151 581 075 046 4;
  • 50) 0,151 581 075 046 4 × 2 = 0 + 0,303 162 150 092 8;
  • 51) 0,303 162 150 092 8 × 2 = 0 + 0,606 324 300 185 6;
  • 52) 0,606 324 300 185 6 × 2 = 1 + 0,212 648 600 371 2;
  • 53) 0,212 648 600 371 2 × 2 = 0 + 0,425 297 200 742 4;
  • 54) 0,425 297 200 742 4 × 2 = 0 + 0,850 594 401 484 8;
  • 55) 0,850 594 401 484 8 × 2 = 1 + 0,701 188 802 969 6;
  • 56) 0,701 188 802 969 6 × 2 = 1 + 0,402 377 605 939 2;
  • 57) 0,402 377 605 939 2 × 2 = 0 + 0,804 755 211 878 4;
  • 58) 0,804 755 211 878 4 × 2 = 1 + 0,609 510 423 756 8;
  • 59) 0,609 510 423 756 8 × 2 = 1 + 0,219 020 847 513 6;
  • 60) 0,219 020 847 513 6 × 2 = 0 + 0,438 041 695 027 2;
  • 61) 0,438 041 695 027 2 × 2 = 0 + 0,876 083 390 054 4;
  • 62) 0,876 083 390 054 4 × 2 = 1 + 0,752 166 780 108 8;
  • 63) 0,752 166 780 108 8 × 2 = 1 + 0,504 333 560 217 6;
  • 64) 0,504 333 560 217 6 × 2 = 1 + 0,008 667 120 435 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 869 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 869 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 869 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 869 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1100 1101 0110 0001 0011 0110 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 875 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100