-0,000 282 005 869 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 869 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 869 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 869 9| = 0,000 282 005 869 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 869 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 869 9 × 2 = 0 + 0,000 564 011 739 8;
  • 2) 0,000 564 011 739 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 479 6;
  • 3) 0,001 128 023 479 6 × 2 = 0 + 0,002 256 046 959 2;
  • 4) 0,002 256 046 959 2 × 2 = 0 + 0,004 512 093 918 4;
  • 5) 0,004 512 093 918 4 × 2 = 0 + 0,009 024 187 836 8;
  • 6) 0,009 024 187 836 8 × 2 = 0 + 0,018 048 375 673 6;
  • 7) 0,018 048 375 673 6 × 2 = 0 + 0,036 096 751 347 2;
  • 8) 0,036 096 751 347 2 × 2 = 0 + 0,072 193 502 694 4;
  • 9) 0,072 193 502 694 4 × 2 = 0 + 0,144 387 005 388 8;
  • 10) 0,144 387 005 388 8 × 2 = 0 + 0,288 774 010 777 6;
  • 11) 0,288 774 010 777 6 × 2 = 0 + 0,577 548 021 555 2;
  • 12) 0,577 548 021 555 2 × 2 = 1 + 0,155 096 043 110 4;
  • 13) 0,155 096 043 110 4 × 2 = 0 + 0,310 192 086 220 8;
  • 14) 0,310 192 086 220 8 × 2 = 0 + 0,620 384 172 441 6;
  • 15) 0,620 384 172 441 6 × 2 = 1 + 0,240 768 344 883 2;
  • 16) 0,240 768 344 883 2 × 2 = 0 + 0,481 536 689 766 4;
  • 17) 0,481 536 689 766 4 × 2 = 0 + 0,963 073 379 532 8;
  • 18) 0,963 073 379 532 8 × 2 = 1 + 0,926 146 759 065 6;
  • 19) 0,926 146 759 065 6 × 2 = 1 + 0,852 293 518 131 2;
  • 20) 0,852 293 518 131 2 × 2 = 1 + 0,704 587 036 262 4;
  • 21) 0,704 587 036 262 4 × 2 = 1 + 0,409 174 072 524 8;
  • 22) 0,409 174 072 524 8 × 2 = 0 + 0,818 348 145 049 6;
  • 23) 0,818 348 145 049 6 × 2 = 1 + 0,636 696 290 099 2;
  • 24) 0,636 696 290 099 2 × 2 = 1 + 0,273 392 580 198 4;
  • 25) 0,273 392 580 198 4 × 2 = 0 + 0,546 785 160 396 8;
  • 26) 0,546 785 160 396 8 × 2 = 1 + 0,093 570 320 793 6;
  • 27) 0,093 570 320 793 6 × 2 = 0 + 0,187 140 641 587 2;
  • 28) 0,187 140 641 587 2 × 2 = 0 + 0,374 281 283 174 4;
  • 29) 0,374 281 283 174 4 × 2 = 0 + 0,748 562 566 348 8;
  • 30) 0,748 562 566 348 8 × 2 = 1 + 0,497 125 132 697 6;
  • 31) 0,497 125 132 697 6 × 2 = 0 + 0,994 250 265 395 2;
  • 32) 0,994 250 265 395 2 × 2 = 1 + 0,988 500 530 790 4;
  • 33) 0,988 500 530 790 4 × 2 = 1 + 0,977 001 061 580 8;
  • 34) 0,977 001 061 580 8 × 2 = 1 + 0,954 002 123 161 6;
  • 35) 0,954 002 123 161 6 × 2 = 1 + 0,908 004 246 323 2;
  • 36) 0,908 004 246 323 2 × 2 = 1 + 0,816 008 492 646 4;
  • 37) 0,816 008 492 646 4 × 2 = 1 + 0,632 016 985 292 8;
  • 38) 0,632 016 985 292 8 × 2 = 1 + 0,264 033 970 585 6;
  • 39) 0,264 033 970 585 6 × 2 = 0 + 0,528 067 941 171 2;
  • 40) 0,528 067 941 171 2 × 2 = 1 + 0,056 135 882 342 4;
  • 41) 0,056 135 882 342 4 × 2 = 0 + 0,112 271 764 684 8;
  • 42) 0,112 271 764 684 8 × 2 = 0 + 0,224 543 529 369 6;
  • 43) 0,224 543 529 369 6 × 2 = 0 + 0,449 087 058 739 2;
  • 44) 0,449 087 058 739 2 × 2 = 0 + 0,898 174 117 478 4;
  • 45) 0,898 174 117 478 4 × 2 = 1 + 0,796 348 234 956 8;
  • 46) 0,796 348 234 956 8 × 2 = 1 + 0,592 696 469 913 6;
  • 47) 0,592 696 469 913 6 × 2 = 1 + 0,185 392 939 827 2;
  • 48) 0,185 392 939 827 2 × 2 = 0 + 0,370 785 879 654 4;
  • 49) 0,370 785 879 654 4 × 2 = 0 + 0,741 571 759 308 8;
  • 50) 0,741 571 759 308 8 × 2 = 1 + 0,483 143 518 617 6;
  • 51) 0,483 143 518 617 6 × 2 = 0 + 0,966 287 037 235 2;
  • 52) 0,966 287 037 235 2 × 2 = 1 + 0,932 574 074 470 4;
  • 53) 0,932 574 074 470 4 × 2 = 1 + 0,865 148 148 940 8;
  • 54) 0,865 148 148 940 8 × 2 = 1 + 0,730 296 297 881 6;
  • 55) 0,730 296 297 881 6 × 2 = 1 + 0,460 592 595 763 2;
  • 56) 0,460 592 595 763 2 × 2 = 0 + 0,921 185 191 526 4;
  • 57) 0,921 185 191 526 4 × 2 = 1 + 0,842 370 383 052 8;
  • 58) 0,842 370 383 052 8 × 2 = 1 + 0,684 740 766 105 6;
  • 59) 0,684 740 766 105 6 × 2 = 1 + 0,369 481 532 211 2;
  • 60) 0,369 481 532 211 2 × 2 = 0 + 0,738 963 064 422 4;
  • 61) 0,738 963 064 422 4 × 2 = 1 + 0,477 926 128 844 8;
  • 62) 0,477 926 128 844 8 × 2 = 0 + 0,955 852 257 689 6;
  • 63) 0,955 852 257 689 6 × 2 = 1 + 0,911 704 515 379 2;
  • 64) 0,911 704 515 379 2 × 2 = 1 + 0,823 409 030 758 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 869 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 869 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 869 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 869 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 0000 1110 0101 1110 1110 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 870 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100