-0,000 282 005 870 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 870 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 870 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 870 7| = 0,000 282 005 870 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 870 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 870 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 741 4;
  • 2) 0,000 564 011 741 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 482 8;
  • 3) 0,001 128 023 482 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 965 6;
  • 4) 0,002 256 046 965 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 931 2;
  • 5) 0,004 512 093 931 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 862 4;
  • 6) 0,009 024 187 862 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 724 8;
  • 7) 0,018 048 375 724 8 × 2 = 0 + 0,036 096 751 449 6;
  • 8) 0,036 096 751 449 6 × 2 = 0 + 0,072 193 502 899 2;
  • 9) 0,072 193 502 899 2 × 2 = 0 + 0,144 387 005 798 4;
  • 10) 0,144 387 005 798 4 × 2 = 0 + 0,288 774 011 596 8;
  • 11) 0,288 774 011 596 8 × 2 = 0 + 0,577 548 023 193 6;
  • 12) 0,577 548 023 193 6 × 2 = 1 + 0,155 096 046 387 2;
  • 13) 0,155 096 046 387 2 × 2 = 0 + 0,310 192 092 774 4;
  • 14) 0,310 192 092 774 4 × 2 = 0 + 0,620 384 185 548 8;
  • 15) 0,620 384 185 548 8 × 2 = 1 + 0,240 768 371 097 6;
  • 16) 0,240 768 371 097 6 × 2 = 0 + 0,481 536 742 195 2;
  • 17) 0,481 536 742 195 2 × 2 = 0 + 0,963 073 484 390 4;
  • 18) 0,963 073 484 390 4 × 2 = 1 + 0,926 146 968 780 8;
  • 19) 0,926 146 968 780 8 × 2 = 1 + 0,852 293 937 561 6;
  • 20) 0,852 293 937 561 6 × 2 = 1 + 0,704 587 875 123 2;
  • 21) 0,704 587 875 123 2 × 2 = 1 + 0,409 175 750 246 4;
  • 22) 0,409 175 750 246 4 × 2 = 0 + 0,818 351 500 492 8;
  • 23) 0,818 351 500 492 8 × 2 = 1 + 0,636 703 000 985 6;
  • 24) 0,636 703 000 985 6 × 2 = 1 + 0,273 406 001 971 2;
  • 25) 0,273 406 001 971 2 × 2 = 0 + 0,546 812 003 942 4;
  • 26) 0,546 812 003 942 4 × 2 = 1 + 0,093 624 007 884 8;
  • 27) 0,093 624 007 884 8 × 2 = 0 + 0,187 248 015 769 6;
  • 28) 0,187 248 015 769 6 × 2 = 0 + 0,374 496 031 539 2;
  • 29) 0,374 496 031 539 2 × 2 = 0 + 0,748 992 063 078 4;
  • 30) 0,748 992 063 078 4 × 2 = 1 + 0,497 984 126 156 8;
  • 31) 0,497 984 126 156 8 × 2 = 0 + 0,995 968 252 313 6;
  • 32) 0,995 968 252 313 6 × 2 = 1 + 0,991 936 504 627 2;
  • 33) 0,991 936 504 627 2 × 2 = 1 + 0,983 873 009 254 4;
  • 34) 0,983 873 009 254 4 × 2 = 1 + 0,967 746 018 508 8;
  • 35) 0,967 746 018 508 8 × 2 = 1 + 0,935 492 037 017 6;
  • 36) 0,935 492 037 017 6 × 2 = 1 + 0,870 984 074 035 2;
  • 37) 0,870 984 074 035 2 × 2 = 1 + 0,741 968 148 070 4;
  • 38) 0,741 968 148 070 4 × 2 = 1 + 0,483 936 296 140 8;
  • 39) 0,483 936 296 140 8 × 2 = 0 + 0,967 872 592 281 6;
  • 40) 0,967 872 592 281 6 × 2 = 1 + 0,935 745 184 563 2;
  • 41) 0,935 745 184 563 2 × 2 = 1 + 0,871 490 369 126 4;
  • 42) 0,871 490 369 126 4 × 2 = 1 + 0,742 980 738 252 8;
  • 43) 0,742 980 738 252 8 × 2 = 1 + 0,485 961 476 505 6;
  • 44) 0,485 961 476 505 6 × 2 = 0 + 0,971 922 953 011 2;
  • 45) 0,971 922 953 011 2 × 2 = 1 + 0,943 845 906 022 4;
  • 46) 0,943 845 906 022 4 × 2 = 1 + 0,887 691 812 044 8;
  • 47) 0,887 691 812 044 8 × 2 = 1 + 0,775 383 624 089 6;
  • 48) 0,775 383 624 089 6 × 2 = 1 + 0,550 767 248 179 2;
  • 49) 0,550 767 248 179 2 × 2 = 1 + 0,101 534 496 358 4;
  • 50) 0,101 534 496 358 4 × 2 = 0 + 0,203 068 992 716 8;
  • 51) 0,203 068 992 716 8 × 2 = 0 + 0,406 137 985 433 6;
  • 52) 0,406 137 985 433 6 × 2 = 0 + 0,812 275 970 867 2;
  • 53) 0,812 275 970 867 2 × 2 = 1 + 0,624 551 941 734 4;
  • 54) 0,624 551 941 734 4 × 2 = 1 + 0,249 103 883 468 8;
  • 55) 0,249 103 883 468 8 × 2 = 0 + 0,498 207 766 937 6;
  • 56) 0,498 207 766 937 6 × 2 = 0 + 0,996 415 533 875 2;
  • 57) 0,996 415 533 875 2 × 2 = 1 + 0,992 831 067 750 4;
  • 58) 0,992 831 067 750 4 × 2 = 1 + 0,985 662 135 500 8;
  • 59) 0,985 662 135 500 8 × 2 = 1 + 0,971 324 271 001 6;
  • 60) 0,971 324 271 001 6 × 2 = 1 + 0,942 648 542 003 2;
  • 61) 0,942 648 542 003 2 × 2 = 1 + 0,885 297 084 006 4;
  • 62) 0,885 297 084 006 4 × 2 = 1 + 0,770 594 168 012 8;
  • 63) 0,770 594 168 012 8 × 2 = 1 + 0,541 188 336 025 6;
  • 64) 0,541 188 336 025 6 × 2 = 1 + 0,082 376 672 051 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 870 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 870 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 870 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 870 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1101 1110 1111 1000 1100 1111 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 861 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100