-0,000 282 005 871 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 871 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 871 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 871 2| = 0,000 282 005 871 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 871 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 871 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 742 4;
  • 2) 0,000 564 011 742 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 484 8;
  • 3) 0,001 128 023 484 8 × 2 = 0 + 0,002 256 046 969 6;
  • 4) 0,002 256 046 969 6 × 2 = 0 + 0,004 512 093 939 2;
  • 5) 0,004 512 093 939 2 × 2 = 0 + 0,009 024 187 878 4;
  • 6) 0,009 024 187 878 4 × 2 = 0 + 0,018 048 375 756 8;
  • 7) 0,018 048 375 756 8 × 2 = 0 + 0,036 096 751 513 6;
  • 8) 0,036 096 751 513 6 × 2 = 0 + 0,072 193 503 027 2;
  • 9) 0,072 193 503 027 2 × 2 = 0 + 0,144 387 006 054 4;
  • 10) 0,144 387 006 054 4 × 2 = 0 + 0,288 774 012 108 8;
  • 11) 0,288 774 012 108 8 × 2 = 0 + 0,577 548 024 217 6;
  • 12) 0,577 548 024 217 6 × 2 = 1 + 0,155 096 048 435 2;
  • 13) 0,155 096 048 435 2 × 2 = 0 + 0,310 192 096 870 4;
  • 14) 0,310 192 096 870 4 × 2 = 0 + 0,620 384 193 740 8;
  • 15) 0,620 384 193 740 8 × 2 = 1 + 0,240 768 387 481 6;
  • 16) 0,240 768 387 481 6 × 2 = 0 + 0,481 536 774 963 2;
  • 17) 0,481 536 774 963 2 × 2 = 0 + 0,963 073 549 926 4;
  • 18) 0,963 073 549 926 4 × 2 = 1 + 0,926 147 099 852 8;
  • 19) 0,926 147 099 852 8 × 2 = 1 + 0,852 294 199 705 6;
  • 20) 0,852 294 199 705 6 × 2 = 1 + 0,704 588 399 411 2;
  • 21) 0,704 588 399 411 2 × 2 = 1 + 0,409 176 798 822 4;
  • 22) 0,409 176 798 822 4 × 2 = 0 + 0,818 353 597 644 8;
  • 23) 0,818 353 597 644 8 × 2 = 1 + 0,636 707 195 289 6;
  • 24) 0,636 707 195 289 6 × 2 = 1 + 0,273 414 390 579 2;
  • 25) 0,273 414 390 579 2 × 2 = 0 + 0,546 828 781 158 4;
  • 26) 0,546 828 781 158 4 × 2 = 1 + 0,093 657 562 316 8;
  • 27) 0,093 657 562 316 8 × 2 = 0 + 0,187 315 124 633 6;
  • 28) 0,187 315 124 633 6 × 2 = 0 + 0,374 630 249 267 2;
  • 29) 0,374 630 249 267 2 × 2 = 0 + 0,749 260 498 534 4;
  • 30) 0,749 260 498 534 4 × 2 = 1 + 0,498 520 997 068 8;
  • 31) 0,498 520 997 068 8 × 2 = 0 + 0,997 041 994 137 6;
  • 32) 0,997 041 994 137 6 × 2 = 1 + 0,994 083 988 275 2;
  • 33) 0,994 083 988 275 2 × 2 = 1 + 0,988 167 976 550 4;
  • 34) 0,988 167 976 550 4 × 2 = 1 + 0,976 335 953 100 8;
  • 35) 0,976 335 953 100 8 × 2 = 1 + 0,952 671 906 201 6;
  • 36) 0,952 671 906 201 6 × 2 = 1 + 0,905 343 812 403 2;
  • 37) 0,905 343 812 403 2 × 2 = 1 + 0,810 687 624 806 4;
  • 38) 0,810 687 624 806 4 × 2 = 1 + 0,621 375 249 612 8;
  • 39) 0,621 375 249 612 8 × 2 = 1 + 0,242 750 499 225 6;
  • 40) 0,242 750 499 225 6 × 2 = 0 + 0,485 500 998 451 2;
  • 41) 0,485 500 998 451 2 × 2 = 0 + 0,971 001 996 902 4;
  • 42) 0,971 001 996 902 4 × 2 = 1 + 0,942 003 993 804 8;
  • 43) 0,942 003 993 804 8 × 2 = 1 + 0,884 007 987 609 6;
  • 44) 0,884 007 987 609 6 × 2 = 1 + 0,768 015 975 219 2;
  • 45) 0,768 015 975 219 2 × 2 = 1 + 0,536 031 950 438 4;
  • 46) 0,536 031 950 438 4 × 2 = 1 + 0,072 063 900 876 8;
  • 47) 0,072 063 900 876 8 × 2 = 0 + 0,144 127 801 753 6;
  • 48) 0,144 127 801 753 6 × 2 = 0 + 0,288 255 603 507 2;
  • 49) 0,288 255 603 507 2 × 2 = 0 + 0,576 511 207 014 4;
  • 50) 0,576 511 207 014 4 × 2 = 1 + 0,153 022 414 028 8;
  • 51) 0,153 022 414 028 8 × 2 = 0 + 0,306 044 828 057 6;
  • 52) 0,306 044 828 057 6 × 2 = 0 + 0,612 089 656 115 2;
  • 53) 0,612 089 656 115 2 × 2 = 1 + 0,224 179 312 230 4;
  • 54) 0,224 179 312 230 4 × 2 = 0 + 0,448 358 624 460 8;
  • 55) 0,448 358 624 460 8 × 2 = 0 + 0,896 717 248 921 6;
  • 56) 0,896 717 248 921 6 × 2 = 1 + 0,793 434 497 843 2;
  • 57) 0,793 434 497 843 2 × 2 = 1 + 0,586 868 995 686 4;
  • 58) 0,586 868 995 686 4 × 2 = 1 + 0,173 737 991 372 8;
  • 59) 0,173 737 991 372 8 × 2 = 0 + 0,347 475 982 745 6;
  • 60) 0,347 475 982 745 6 × 2 = 0 + 0,694 951 965 491 2;
  • 61) 0,694 951 965 491 2 × 2 = 1 + 0,389 903 930 982 4;
  • 62) 0,389 903 930 982 4 × 2 = 0 + 0,779 807 861 964 8;
  • 63) 0,779 807 861 964 8 × 2 = 1 + 0,559 615 723 929 6;
  • 64) 0,559 615 723 929 6 × 2 = 1 + 0,119 231 447 859 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 871 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 871 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 871 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 871 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1110 0111 1100 0100 1001 1100 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 864 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100