-0,000 282 005 872 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 872 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 872 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 872 3| = 0,000 282 005 872 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 872 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 872 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 744 6;
  • 2) 0,000 564 011 744 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 489 2;
  • 3) 0,001 128 023 489 2 × 2 = 0 + 0,002 256 046 978 4;
  • 4) 0,002 256 046 978 4 × 2 = 0 + 0,004 512 093 956 8;
  • 5) 0,004 512 093 956 8 × 2 = 0 + 0,009 024 187 913 6;
  • 6) 0,009 024 187 913 6 × 2 = 0 + 0,018 048 375 827 2;
  • 7) 0,018 048 375 827 2 × 2 = 0 + 0,036 096 751 654 4;
  • 8) 0,036 096 751 654 4 × 2 = 0 + 0,072 193 503 308 8;
  • 9) 0,072 193 503 308 8 × 2 = 0 + 0,144 387 006 617 6;
  • 10) 0,144 387 006 617 6 × 2 = 0 + 0,288 774 013 235 2;
  • 11) 0,288 774 013 235 2 × 2 = 0 + 0,577 548 026 470 4;
  • 12) 0,577 548 026 470 4 × 2 = 1 + 0,155 096 052 940 8;
  • 13) 0,155 096 052 940 8 × 2 = 0 + 0,310 192 105 881 6;
  • 14) 0,310 192 105 881 6 × 2 = 0 + 0,620 384 211 763 2;
  • 15) 0,620 384 211 763 2 × 2 = 1 + 0,240 768 423 526 4;
  • 16) 0,240 768 423 526 4 × 2 = 0 + 0,481 536 847 052 8;
  • 17) 0,481 536 847 052 8 × 2 = 0 + 0,963 073 694 105 6;
  • 18) 0,963 073 694 105 6 × 2 = 1 + 0,926 147 388 211 2;
  • 19) 0,926 147 388 211 2 × 2 = 1 + 0,852 294 776 422 4;
  • 20) 0,852 294 776 422 4 × 2 = 1 + 0,704 589 552 844 8;
  • 21) 0,704 589 552 844 8 × 2 = 1 + 0,409 179 105 689 6;
  • 22) 0,409 179 105 689 6 × 2 = 0 + 0,818 358 211 379 2;
  • 23) 0,818 358 211 379 2 × 2 = 1 + 0,636 716 422 758 4;
  • 24) 0,636 716 422 758 4 × 2 = 1 + 0,273 432 845 516 8;
  • 25) 0,273 432 845 516 8 × 2 = 0 + 0,546 865 691 033 6;
  • 26) 0,546 865 691 033 6 × 2 = 1 + 0,093 731 382 067 2;
  • 27) 0,093 731 382 067 2 × 2 = 0 + 0,187 462 764 134 4;
  • 28) 0,187 462 764 134 4 × 2 = 0 + 0,374 925 528 268 8;
  • 29) 0,374 925 528 268 8 × 2 = 0 + 0,749 851 056 537 6;
  • 30) 0,749 851 056 537 6 × 2 = 1 + 0,499 702 113 075 2;
  • 31) 0,499 702 113 075 2 × 2 = 0 + 0,999 404 226 150 4;
  • 32) 0,999 404 226 150 4 × 2 = 1 + 0,998 808 452 300 8;
  • 33) 0,998 808 452 300 8 × 2 = 1 + 0,997 616 904 601 6;
  • 34) 0,997 616 904 601 6 × 2 = 1 + 0,995 233 809 203 2;
  • 35) 0,995 233 809 203 2 × 2 = 1 + 0,990 467 618 406 4;
  • 36) 0,990 467 618 406 4 × 2 = 1 + 0,980 935 236 812 8;
  • 37) 0,980 935 236 812 8 × 2 = 1 + 0,961 870 473 625 6;
  • 38) 0,961 870 473 625 6 × 2 = 1 + 0,923 740 947 251 2;
  • 39) 0,923 740 947 251 2 × 2 = 1 + 0,847 481 894 502 4;
  • 40) 0,847 481 894 502 4 × 2 = 1 + 0,694 963 789 004 8;
  • 41) 0,694 963 789 004 8 × 2 = 1 + 0,389 927 578 009 6;
  • 42) 0,389 927 578 009 6 × 2 = 0 + 0,779 855 156 019 2;
  • 43) 0,779 855 156 019 2 × 2 = 1 + 0,559 710 312 038 4;
  • 44) 0,559 710 312 038 4 × 2 = 1 + 0,119 420 624 076 8;
  • 45) 0,119 420 624 076 8 × 2 = 0 + 0,238 841 248 153 6;
  • 46) 0,238 841 248 153 6 × 2 = 0 + 0,477 682 496 307 2;
  • 47) 0,477 682 496 307 2 × 2 = 0 + 0,955 364 992 614 4;
  • 48) 0,955 364 992 614 4 × 2 = 1 + 0,910 729 985 228 8;
  • 49) 0,910 729 985 228 8 × 2 = 1 + 0,821 459 970 457 6;
  • 50) 0,821 459 970 457 6 × 2 = 1 + 0,642 919 940 915 2;
  • 51) 0,642 919 940 915 2 × 2 = 1 + 0,285 839 881 830 4;
  • 52) 0,285 839 881 830 4 × 2 = 0 + 0,571 679 763 660 8;
  • 53) 0,571 679 763 660 8 × 2 = 1 + 0,143 359 527 321 6;
  • 54) 0,143 359 527 321 6 × 2 = 0 + 0,286 719 054 643 2;
  • 55) 0,286 719 054 643 2 × 2 = 0 + 0,573 438 109 286 4;
  • 56) 0,573 438 109 286 4 × 2 = 1 + 0,146 876 218 572 8;
  • 57) 0,146 876 218 572 8 × 2 = 0 + 0,293 752 437 145 6;
  • 58) 0,293 752 437 145 6 × 2 = 0 + 0,587 504 874 291 2;
  • 59) 0,587 504 874 291 2 × 2 = 1 + 0,175 009 748 582 4;
  • 60) 0,175 009 748 582 4 × 2 = 0 + 0,350 019 497 164 8;
  • 61) 0,350 019 497 164 8 × 2 = 0 + 0,700 038 994 329 6;
  • 62) 0,700 038 994 329 6 × 2 = 1 + 0,400 077 988 659 2;
  • 63) 0,400 077 988 659 2 × 2 = 0 + 0,800 155 977 318 4;
  • 64) 0,800 155 977 318 4 × 2 = 1 + 0,600 311 954 636 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 872 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 872 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 872 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101 =

0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 872 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0101 1111 1111 1011 0001 1110 1001 0010 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 87 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100