-0,000 282 005 873 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 873 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 873 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 873 1| = 0,000 282 005 873 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 873 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 873 1 × 2 = 0 + 0,000 564 011 746 2;
  • 2) 0,000 564 011 746 2 × 2 = 0 + 0,001 128 023 492 4;
  • 3) 0,001 128 023 492 4 × 2 = 0 + 0,002 256 046 984 8;
  • 4) 0,002 256 046 984 8 × 2 = 0 + 0,004 512 093 969 6;
  • 5) 0,004 512 093 969 6 × 2 = 0 + 0,009 024 187 939 2;
  • 6) 0,009 024 187 939 2 × 2 = 0 + 0,018 048 375 878 4;
  • 7) 0,018 048 375 878 4 × 2 = 0 + 0,036 096 751 756 8;
  • 8) 0,036 096 751 756 8 × 2 = 0 + 0,072 193 503 513 6;
  • 9) 0,072 193 503 513 6 × 2 = 0 + 0,144 387 007 027 2;
  • 10) 0,144 387 007 027 2 × 2 = 0 + 0,288 774 014 054 4;
  • 11) 0,288 774 014 054 4 × 2 = 0 + 0,577 548 028 108 8;
  • 12) 0,577 548 028 108 8 × 2 = 1 + 0,155 096 056 217 6;
  • 13) 0,155 096 056 217 6 × 2 = 0 + 0,310 192 112 435 2;
  • 14) 0,310 192 112 435 2 × 2 = 0 + 0,620 384 224 870 4;
  • 15) 0,620 384 224 870 4 × 2 = 1 + 0,240 768 449 740 8;
  • 16) 0,240 768 449 740 8 × 2 = 0 + 0,481 536 899 481 6;
  • 17) 0,481 536 899 481 6 × 2 = 0 + 0,963 073 798 963 2;
  • 18) 0,963 073 798 963 2 × 2 = 1 + 0,926 147 597 926 4;
  • 19) 0,926 147 597 926 4 × 2 = 1 + 0,852 295 195 852 8;
  • 20) 0,852 295 195 852 8 × 2 = 1 + 0,704 590 391 705 6;
  • 21) 0,704 590 391 705 6 × 2 = 1 + 0,409 180 783 411 2;
  • 22) 0,409 180 783 411 2 × 2 = 0 + 0,818 361 566 822 4;
  • 23) 0,818 361 566 822 4 × 2 = 1 + 0,636 723 133 644 8;
  • 24) 0,636 723 133 644 8 × 2 = 1 + 0,273 446 267 289 6;
  • 25) 0,273 446 267 289 6 × 2 = 0 + 0,546 892 534 579 2;
  • 26) 0,546 892 534 579 2 × 2 = 1 + 0,093 785 069 158 4;
  • 27) 0,093 785 069 158 4 × 2 = 0 + 0,187 570 138 316 8;
  • 28) 0,187 570 138 316 8 × 2 = 0 + 0,375 140 276 633 6;
  • 29) 0,375 140 276 633 6 × 2 = 0 + 0,750 280 553 267 2;
  • 30) 0,750 280 553 267 2 × 2 = 1 + 0,500 561 106 534 4;
  • 31) 0,500 561 106 534 4 × 2 = 1 + 0,001 122 213 068 8;
  • 32) 0,001 122 213 068 8 × 2 = 0 + 0,002 244 426 137 6;
  • 33) 0,002 244 426 137 6 × 2 = 0 + 0,004 488 852 275 2;
  • 34) 0,004 488 852 275 2 × 2 = 0 + 0,008 977 704 550 4;
  • 35) 0,008 977 704 550 4 × 2 = 0 + 0,017 955 409 100 8;
  • 36) 0,017 955 409 100 8 × 2 = 0 + 0,035 910 818 201 6;
  • 37) 0,035 910 818 201 6 × 2 = 0 + 0,071 821 636 403 2;
  • 38) 0,071 821 636 403 2 × 2 = 0 + 0,143 643 272 806 4;
  • 39) 0,143 643 272 806 4 × 2 = 0 + 0,287 286 545 612 8;
  • 40) 0,287 286 545 612 8 × 2 = 0 + 0,574 573 091 225 6;
  • 41) 0,574 573 091 225 6 × 2 = 1 + 0,149 146 182 451 2;
  • 42) 0,149 146 182 451 2 × 2 = 0 + 0,298 292 364 902 4;
  • 43) 0,298 292 364 902 4 × 2 = 0 + 0,596 584 729 804 8;
  • 44) 0,596 584 729 804 8 × 2 = 1 + 0,193 169 459 609 6;
  • 45) 0,193 169 459 609 6 × 2 = 0 + 0,386 338 919 219 2;
  • 46) 0,386 338 919 219 2 × 2 = 0 + 0,772 677 838 438 4;
  • 47) 0,772 677 838 438 4 × 2 = 1 + 0,545 355 676 876 8;
  • 48) 0,545 355 676 876 8 × 2 = 1 + 0,090 711 353 753 6;
  • 49) 0,090 711 353 753 6 × 2 = 0 + 0,181 422 707 507 2;
  • 50) 0,181 422 707 507 2 × 2 = 0 + 0,362 845 415 014 4;
  • 51) 0,362 845 415 014 4 × 2 = 0 + 0,725 690 830 028 8;
  • 52) 0,725 690 830 028 8 × 2 = 1 + 0,451 381 660 057 6;
  • 53) 0,451 381 660 057 6 × 2 = 0 + 0,902 763 320 115 2;
  • 54) 0,902 763 320 115 2 × 2 = 1 + 0,805 526 640 230 4;
  • 55) 0,805 526 640 230 4 × 2 = 1 + 0,611 053 280 460 8;
  • 56) 0,611 053 280 460 8 × 2 = 1 + 0,222 106 560 921 6;
  • 57) 0,222 106 560 921 6 × 2 = 0 + 0,444 213 121 843 2;
  • 58) 0,444 213 121 843 2 × 2 = 0 + 0,888 426 243 686 4;
  • 59) 0,888 426 243 686 4 × 2 = 1 + 0,776 852 487 372 8;
  • 60) 0,776 852 487 372 8 × 2 = 1 + 0,553 704 974 745 6;
  • 61) 0,553 704 974 745 6 × 2 = 1 + 0,107 409 949 491 2;
  • 62) 0,107 409 949 491 2 × 2 = 0 + 0,214 819 898 982 4;
  • 63) 0,214 819 898 982 4 × 2 = 0 + 0,429 639 797 964 8;
  • 64) 0,429 639 797 964 8 × 2 = 0 + 0,859 279 595 929 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 873 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 873 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 873 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 873 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1001 0011 0001 0111 0011 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 879 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100