-0,000 282 005 873 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 873 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 873 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 873 4| = 0,000 282 005 873 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 873 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 873 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 746 8;
  • 2) 0,000 564 011 746 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 493 6;
  • 3) 0,001 128 023 493 6 × 2 = 0 + 0,002 256 046 987 2;
  • 4) 0,002 256 046 987 2 × 2 = 0 + 0,004 512 093 974 4;
  • 5) 0,004 512 093 974 4 × 2 = 0 + 0,009 024 187 948 8;
  • 6) 0,009 024 187 948 8 × 2 = 0 + 0,018 048 375 897 6;
  • 7) 0,018 048 375 897 6 × 2 = 0 + 0,036 096 751 795 2;
  • 8) 0,036 096 751 795 2 × 2 = 0 + 0,072 193 503 590 4;
  • 9) 0,072 193 503 590 4 × 2 = 0 + 0,144 387 007 180 8;
  • 10) 0,144 387 007 180 8 × 2 = 0 + 0,288 774 014 361 6;
  • 11) 0,288 774 014 361 6 × 2 = 0 + 0,577 548 028 723 2;
  • 12) 0,577 548 028 723 2 × 2 = 1 + 0,155 096 057 446 4;
  • 13) 0,155 096 057 446 4 × 2 = 0 + 0,310 192 114 892 8;
  • 14) 0,310 192 114 892 8 × 2 = 0 + 0,620 384 229 785 6;
  • 15) 0,620 384 229 785 6 × 2 = 1 + 0,240 768 459 571 2;
  • 16) 0,240 768 459 571 2 × 2 = 0 + 0,481 536 919 142 4;
  • 17) 0,481 536 919 142 4 × 2 = 0 + 0,963 073 838 284 8;
  • 18) 0,963 073 838 284 8 × 2 = 1 + 0,926 147 676 569 6;
  • 19) 0,926 147 676 569 6 × 2 = 1 + 0,852 295 353 139 2;
  • 20) 0,852 295 353 139 2 × 2 = 1 + 0,704 590 706 278 4;
  • 21) 0,704 590 706 278 4 × 2 = 1 + 0,409 181 412 556 8;
  • 22) 0,409 181 412 556 8 × 2 = 0 + 0,818 362 825 113 6;
  • 23) 0,818 362 825 113 6 × 2 = 1 + 0,636 725 650 227 2;
  • 24) 0,636 725 650 227 2 × 2 = 1 + 0,273 451 300 454 4;
  • 25) 0,273 451 300 454 4 × 2 = 0 + 0,546 902 600 908 8;
  • 26) 0,546 902 600 908 8 × 2 = 1 + 0,093 805 201 817 6;
  • 27) 0,093 805 201 817 6 × 2 = 0 + 0,187 610 403 635 2;
  • 28) 0,187 610 403 635 2 × 2 = 0 + 0,375 220 807 270 4;
  • 29) 0,375 220 807 270 4 × 2 = 0 + 0,750 441 614 540 8;
  • 30) 0,750 441 614 540 8 × 2 = 1 + 0,500 883 229 081 6;
  • 31) 0,500 883 229 081 6 × 2 = 1 + 0,001 766 458 163 2;
  • 32) 0,001 766 458 163 2 × 2 = 0 + 0,003 532 916 326 4;
  • 33) 0,003 532 916 326 4 × 2 = 0 + 0,007 065 832 652 8;
  • 34) 0,007 065 832 652 8 × 2 = 0 + 0,014 131 665 305 6;
  • 35) 0,014 131 665 305 6 × 2 = 0 + 0,028 263 330 611 2;
  • 36) 0,028 263 330 611 2 × 2 = 0 + 0,056 526 661 222 4;
  • 37) 0,056 526 661 222 4 × 2 = 0 + 0,113 053 322 444 8;
  • 38) 0,113 053 322 444 8 × 2 = 0 + 0,226 106 644 889 6;
  • 39) 0,226 106 644 889 6 × 2 = 0 + 0,452 213 289 779 2;
  • 40) 0,452 213 289 779 2 × 2 = 0 + 0,904 426 579 558 4;
  • 41) 0,904 426 579 558 4 × 2 = 1 + 0,808 853 159 116 8;
  • 42) 0,808 853 159 116 8 × 2 = 1 + 0,617 706 318 233 6;
  • 43) 0,617 706 318 233 6 × 2 = 1 + 0,235 412 636 467 2;
  • 44) 0,235 412 636 467 2 × 2 = 0 + 0,470 825 272 934 4;
  • 45) 0,470 825 272 934 4 × 2 = 0 + 0,941 650 545 868 8;
  • 46) 0,941 650 545 868 8 × 2 = 1 + 0,883 301 091 737 6;
  • 47) 0,883 301 091 737 6 × 2 = 1 + 0,766 602 183 475 2;
  • 48) 0,766 602 183 475 2 × 2 = 1 + 0,533 204 366 950 4;
  • 49) 0,533 204 366 950 4 × 2 = 1 + 0,066 408 733 900 8;
  • 50) 0,066 408 733 900 8 × 2 = 0 + 0,132 817 467 801 6;
  • 51) 0,132 817 467 801 6 × 2 = 0 + 0,265 634 935 603 2;
  • 52) 0,265 634 935 603 2 × 2 = 0 + 0,531 269 871 206 4;
  • 53) 0,531 269 871 206 4 × 2 = 1 + 0,062 539 742 412 8;
  • 54) 0,062 539 742 412 8 × 2 = 0 + 0,125 079 484 825 6;
  • 55) 0,125 079 484 825 6 × 2 = 0 + 0,250 158 969 651 2;
  • 56) 0,250 158 969 651 2 × 2 = 0 + 0,500 317 939 302 4;
  • 57) 0,500 317 939 302 4 × 2 = 1 + 0,000 635 878 604 8;
  • 58) 0,000 635 878 604 8 × 2 = 0 + 0,001 271 757 209 6;
  • 59) 0,001 271 757 209 6 × 2 = 0 + 0,002 543 514 419 2;
  • 60) 0,002 543 514 419 2 × 2 = 0 + 0,005 087 028 838 4;
  • 61) 0,005 087 028 838 4 × 2 = 0 + 0,010 174 057 676 8;
  • 62) 0,010 174 057 676 8 × 2 = 0 + 0,020 348 115 353 6;
  • 63) 0,020 348 115 353 6 × 2 = 0 + 0,040 696 230 707 2;
  • 64) 0,040 696 230 707 2 × 2 = 0 + 0,081 392 461 414 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 873 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 873 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 873 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 873 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0000 1110 0111 1000 1000 1000 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 876 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100