-0,000 282 005 874 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 874 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 874 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 874 3| = 0,000 282 005 874 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 874 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 874 3 × 2 = 0 + 0,000 564 011 748 6;
  • 2) 0,000 564 011 748 6 × 2 = 0 + 0,001 128 023 497 2;
  • 3) 0,001 128 023 497 2 × 2 = 0 + 0,002 256 046 994 4;
  • 4) 0,002 256 046 994 4 × 2 = 0 + 0,004 512 093 988 8;
  • 5) 0,004 512 093 988 8 × 2 = 0 + 0,009 024 187 977 6;
  • 6) 0,009 024 187 977 6 × 2 = 0 + 0,018 048 375 955 2;
  • 7) 0,018 048 375 955 2 × 2 = 0 + 0,036 096 751 910 4;
  • 8) 0,036 096 751 910 4 × 2 = 0 + 0,072 193 503 820 8;
  • 9) 0,072 193 503 820 8 × 2 = 0 + 0,144 387 007 641 6;
  • 10) 0,144 387 007 641 6 × 2 = 0 + 0,288 774 015 283 2;
  • 11) 0,288 774 015 283 2 × 2 = 0 + 0,577 548 030 566 4;
  • 12) 0,577 548 030 566 4 × 2 = 1 + 0,155 096 061 132 8;
  • 13) 0,155 096 061 132 8 × 2 = 0 + 0,310 192 122 265 6;
  • 14) 0,310 192 122 265 6 × 2 = 0 + 0,620 384 244 531 2;
  • 15) 0,620 384 244 531 2 × 2 = 1 + 0,240 768 489 062 4;
  • 16) 0,240 768 489 062 4 × 2 = 0 + 0,481 536 978 124 8;
  • 17) 0,481 536 978 124 8 × 2 = 0 + 0,963 073 956 249 6;
  • 18) 0,963 073 956 249 6 × 2 = 1 + 0,926 147 912 499 2;
  • 19) 0,926 147 912 499 2 × 2 = 1 + 0,852 295 824 998 4;
  • 20) 0,852 295 824 998 4 × 2 = 1 + 0,704 591 649 996 8;
  • 21) 0,704 591 649 996 8 × 2 = 1 + 0,409 183 299 993 6;
  • 22) 0,409 183 299 993 6 × 2 = 0 + 0,818 366 599 987 2;
  • 23) 0,818 366 599 987 2 × 2 = 1 + 0,636 733 199 974 4;
  • 24) 0,636 733 199 974 4 × 2 = 1 + 0,273 466 399 948 8;
  • 25) 0,273 466 399 948 8 × 2 = 0 + 0,546 932 799 897 6;
  • 26) 0,546 932 799 897 6 × 2 = 1 + 0,093 865 599 795 2;
  • 27) 0,093 865 599 795 2 × 2 = 0 + 0,187 731 199 590 4;
  • 28) 0,187 731 199 590 4 × 2 = 0 + 0,375 462 399 180 8;
  • 29) 0,375 462 399 180 8 × 2 = 0 + 0,750 924 798 361 6;
  • 30) 0,750 924 798 361 6 × 2 = 1 + 0,501 849 596 723 2;
  • 31) 0,501 849 596 723 2 × 2 = 1 + 0,003 699 193 446 4;
  • 32) 0,003 699 193 446 4 × 2 = 0 + 0,007 398 386 892 8;
  • 33) 0,007 398 386 892 8 × 2 = 0 + 0,014 796 773 785 6;
  • 34) 0,014 796 773 785 6 × 2 = 0 + 0,029 593 547 571 2;
  • 35) 0,029 593 547 571 2 × 2 = 0 + 0,059 187 095 142 4;
  • 36) 0,059 187 095 142 4 × 2 = 0 + 0,118 374 190 284 8;
  • 37) 0,118 374 190 284 8 × 2 = 0 + 0,236 748 380 569 6;
  • 38) 0,236 748 380 569 6 × 2 = 0 + 0,473 496 761 139 2;
  • 39) 0,473 496 761 139 2 × 2 = 0 + 0,946 993 522 278 4;
  • 40) 0,946 993 522 278 4 × 2 = 1 + 0,893 987 044 556 8;
  • 41) 0,893 987 044 556 8 × 2 = 1 + 0,787 974 089 113 6;
  • 42) 0,787 974 089 113 6 × 2 = 1 + 0,575 948 178 227 2;
  • 43) 0,575 948 178 227 2 × 2 = 1 + 0,151 896 356 454 4;
  • 44) 0,151 896 356 454 4 × 2 = 0 + 0,303 792 712 908 8;
  • 45) 0,303 792 712 908 8 × 2 = 0 + 0,607 585 425 817 6;
  • 46) 0,607 585 425 817 6 × 2 = 1 + 0,215 170 851 635 2;
  • 47) 0,215 170 851 635 2 × 2 = 0 + 0,430 341 703 270 4;
  • 48) 0,430 341 703 270 4 × 2 = 0 + 0,860 683 406 540 8;
  • 49) 0,860 683 406 540 8 × 2 = 1 + 0,721 366 813 081 6;
  • 50) 0,721 366 813 081 6 × 2 = 1 + 0,442 733 626 163 2;
  • 51) 0,442 733 626 163 2 × 2 = 0 + 0,885 467 252 326 4;
  • 52) 0,885 467 252 326 4 × 2 = 1 + 0,770 934 504 652 8;
  • 53) 0,770 934 504 652 8 × 2 = 1 + 0,541 869 009 305 6;
  • 54) 0,541 869 009 305 6 × 2 = 1 + 0,083 738 018 611 2;
  • 55) 0,083 738 018 611 2 × 2 = 0 + 0,167 476 037 222 4;
  • 56) 0,167 476 037 222 4 × 2 = 0 + 0,334 952 074 444 8;
  • 57) 0,334 952 074 444 8 × 2 = 0 + 0,669 904 148 889 6;
  • 58) 0,669 904 148 889 6 × 2 = 1 + 0,339 808 297 779 2;
  • 59) 0,339 808 297 779 2 × 2 = 0 + 0,679 616 595 558 4;
  • 60) 0,679 616 595 558 4 × 2 = 1 + 0,359 233 191 116 8;
  • 61) 0,359 233 191 116 8 × 2 = 0 + 0,718 466 382 233 6;
  • 62) 0,718 466 382 233 6 × 2 = 1 + 0,436 932 764 467 2;
  • 63) 0,436 932 764 467 2 × 2 = 0 + 0,873 865 528 934 4;
  • 64) 0,873 865 528 934 4 × 2 = 1 + 0,747 731 057 868 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 874 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 874 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 874 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 874 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0001 1110 0100 1101 1100 0101 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 870 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100