-0,000 282 005 874 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 874 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 874 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 874 4| = 0,000 282 005 874 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 874 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 874 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 748 8;
  • 2) 0,000 564 011 748 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 497 6;
  • 3) 0,001 128 023 497 6 × 2 = 0 + 0,002 256 046 995 2;
  • 4) 0,002 256 046 995 2 × 2 = 0 + 0,004 512 093 990 4;
  • 5) 0,004 512 093 990 4 × 2 = 0 + 0,009 024 187 980 8;
  • 6) 0,009 024 187 980 8 × 2 = 0 + 0,018 048 375 961 6;
  • 7) 0,018 048 375 961 6 × 2 = 0 + 0,036 096 751 923 2;
  • 8) 0,036 096 751 923 2 × 2 = 0 + 0,072 193 503 846 4;
  • 9) 0,072 193 503 846 4 × 2 = 0 + 0,144 387 007 692 8;
  • 10) 0,144 387 007 692 8 × 2 = 0 + 0,288 774 015 385 6;
  • 11) 0,288 774 015 385 6 × 2 = 0 + 0,577 548 030 771 2;
  • 12) 0,577 548 030 771 2 × 2 = 1 + 0,155 096 061 542 4;
  • 13) 0,155 096 061 542 4 × 2 = 0 + 0,310 192 123 084 8;
  • 14) 0,310 192 123 084 8 × 2 = 0 + 0,620 384 246 169 6;
  • 15) 0,620 384 246 169 6 × 2 = 1 + 0,240 768 492 339 2;
  • 16) 0,240 768 492 339 2 × 2 = 0 + 0,481 536 984 678 4;
  • 17) 0,481 536 984 678 4 × 2 = 0 + 0,963 073 969 356 8;
  • 18) 0,963 073 969 356 8 × 2 = 1 + 0,926 147 938 713 6;
  • 19) 0,926 147 938 713 6 × 2 = 1 + 0,852 295 877 427 2;
  • 20) 0,852 295 877 427 2 × 2 = 1 + 0,704 591 754 854 4;
  • 21) 0,704 591 754 854 4 × 2 = 1 + 0,409 183 509 708 8;
  • 22) 0,409 183 509 708 8 × 2 = 0 + 0,818 367 019 417 6;
  • 23) 0,818 367 019 417 6 × 2 = 1 + 0,636 734 038 835 2;
  • 24) 0,636 734 038 835 2 × 2 = 1 + 0,273 468 077 670 4;
  • 25) 0,273 468 077 670 4 × 2 = 0 + 0,546 936 155 340 8;
  • 26) 0,546 936 155 340 8 × 2 = 1 + 0,093 872 310 681 6;
  • 27) 0,093 872 310 681 6 × 2 = 0 + 0,187 744 621 363 2;
  • 28) 0,187 744 621 363 2 × 2 = 0 + 0,375 489 242 726 4;
  • 29) 0,375 489 242 726 4 × 2 = 0 + 0,750 978 485 452 8;
  • 30) 0,750 978 485 452 8 × 2 = 1 + 0,501 956 970 905 6;
  • 31) 0,501 956 970 905 6 × 2 = 1 + 0,003 913 941 811 2;
  • 32) 0,003 913 941 811 2 × 2 = 0 + 0,007 827 883 622 4;
  • 33) 0,007 827 883 622 4 × 2 = 0 + 0,015 655 767 244 8;
  • 34) 0,015 655 767 244 8 × 2 = 0 + 0,031 311 534 489 6;
  • 35) 0,031 311 534 489 6 × 2 = 0 + 0,062 623 068 979 2;
  • 36) 0,062 623 068 979 2 × 2 = 0 + 0,125 246 137 958 4;
  • 37) 0,125 246 137 958 4 × 2 = 0 + 0,250 492 275 916 8;
  • 38) 0,250 492 275 916 8 × 2 = 0 + 0,500 984 551 833 6;
  • 39) 0,500 984 551 833 6 × 2 = 1 + 0,001 969 103 667 2;
  • 40) 0,001 969 103 667 2 × 2 = 0 + 0,003 938 207 334 4;
  • 41) 0,003 938 207 334 4 × 2 = 0 + 0,007 876 414 668 8;
  • 42) 0,007 876 414 668 8 × 2 = 0 + 0,015 752 829 337 6;
  • 43) 0,015 752 829 337 6 × 2 = 0 + 0,031 505 658 675 2;
  • 44) 0,031 505 658 675 2 × 2 = 0 + 0,063 011 317 350 4;
  • 45) 0,063 011 317 350 4 × 2 = 0 + 0,126 022 634 700 8;
  • 46) 0,126 022 634 700 8 × 2 = 0 + 0,252 045 269 401 6;
  • 47) 0,252 045 269 401 6 × 2 = 0 + 0,504 090 538 803 2;
  • 48) 0,504 090 538 803 2 × 2 = 1 + 0,008 181 077 606 4;
  • 49) 0,008 181 077 606 4 × 2 = 0 + 0,016 362 155 212 8;
  • 50) 0,016 362 155 212 8 × 2 = 0 + 0,032 724 310 425 6;
  • 51) 0,032 724 310 425 6 × 2 = 0 + 0,065 448 620 851 2;
  • 52) 0,065 448 620 851 2 × 2 = 0 + 0,130 897 241 702 4;
  • 53) 0,130 897 241 702 4 × 2 = 0 + 0,261 794 483 404 8;
  • 54) 0,261 794 483 404 8 × 2 = 0 + 0,523 588 966 809 6;
  • 55) 0,523 588 966 809 6 × 2 = 1 + 0,047 177 933 619 2;
  • 56) 0,047 177 933 619 2 × 2 = 0 + 0,094 355 867 238 4;
  • 57) 0,094 355 867 238 4 × 2 = 0 + 0,188 711 734 476 8;
  • 58) 0,188 711 734 476 8 × 2 = 0 + 0,377 423 468 953 6;
  • 59) 0,377 423 468 953 6 × 2 = 0 + 0,754 846 937 907 2;
  • 60) 0,754 846 937 907 2 × 2 = 1 + 0,509 693 875 814 4;
  • 61) 0,509 693 875 814 4 × 2 = 1 + 0,019 387 751 628 8;
  • 62) 0,019 387 751 628 8 × 2 = 0 + 0,038 775 503 257 6;
  • 63) 0,038 775 503 257 6 × 2 = 0 + 0,077 551 006 515 2;
  • 64) 0,077 551 006 515 2 × 2 = 0 + 0,155 102 013 030 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 874 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 874 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 874 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 874 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 0000 0001 0000 0010 0001 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 877 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100