-0,000 282 005 875 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 875 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 875 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 875 2| = 0,000 282 005 875 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 875 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 875 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 750 4;
  • 2) 0,000 564 011 750 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 500 8;
  • 3) 0,001 128 023 500 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 001 6;
  • 4) 0,002 256 047 001 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 003 2;
  • 5) 0,004 512 094 003 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 006 4;
  • 6) 0,009 024 188 006 4 × 2 = 0 + 0,018 048 376 012 8;
  • 7) 0,018 048 376 012 8 × 2 = 0 + 0,036 096 752 025 6;
  • 8) 0,036 096 752 025 6 × 2 = 0 + 0,072 193 504 051 2;
  • 9) 0,072 193 504 051 2 × 2 = 0 + 0,144 387 008 102 4;
  • 10) 0,144 387 008 102 4 × 2 = 0 + 0,288 774 016 204 8;
  • 11) 0,288 774 016 204 8 × 2 = 0 + 0,577 548 032 409 6;
  • 12) 0,577 548 032 409 6 × 2 = 1 + 0,155 096 064 819 2;
  • 13) 0,155 096 064 819 2 × 2 = 0 + 0,310 192 129 638 4;
  • 14) 0,310 192 129 638 4 × 2 = 0 + 0,620 384 259 276 8;
  • 15) 0,620 384 259 276 8 × 2 = 1 + 0,240 768 518 553 6;
  • 16) 0,240 768 518 553 6 × 2 = 0 + 0,481 537 037 107 2;
  • 17) 0,481 537 037 107 2 × 2 = 0 + 0,963 074 074 214 4;
  • 18) 0,963 074 074 214 4 × 2 = 1 + 0,926 148 148 428 8;
  • 19) 0,926 148 148 428 8 × 2 = 1 + 0,852 296 296 857 6;
  • 20) 0,852 296 296 857 6 × 2 = 1 + 0,704 592 593 715 2;
  • 21) 0,704 592 593 715 2 × 2 = 1 + 0,409 185 187 430 4;
  • 22) 0,409 185 187 430 4 × 2 = 0 + 0,818 370 374 860 8;
  • 23) 0,818 370 374 860 8 × 2 = 1 + 0,636 740 749 721 6;
  • 24) 0,636 740 749 721 6 × 2 = 1 + 0,273 481 499 443 2;
  • 25) 0,273 481 499 443 2 × 2 = 0 + 0,546 962 998 886 4;
  • 26) 0,546 962 998 886 4 × 2 = 1 + 0,093 925 997 772 8;
  • 27) 0,093 925 997 772 8 × 2 = 0 + 0,187 851 995 545 6;
  • 28) 0,187 851 995 545 6 × 2 = 0 + 0,375 703 991 091 2;
  • 29) 0,375 703 991 091 2 × 2 = 0 + 0,751 407 982 182 4;
  • 30) 0,751 407 982 182 4 × 2 = 1 + 0,502 815 964 364 8;
  • 31) 0,502 815 964 364 8 × 2 = 1 + 0,005 631 928 729 6;
  • 32) 0,005 631 928 729 6 × 2 = 0 + 0,011 263 857 459 2;
  • 33) 0,011 263 857 459 2 × 2 = 0 + 0,022 527 714 918 4;
  • 34) 0,022 527 714 918 4 × 2 = 0 + 0,045 055 429 836 8;
  • 35) 0,045 055 429 836 8 × 2 = 0 + 0,090 110 859 673 6;
  • 36) 0,090 110 859 673 6 × 2 = 0 + 0,180 221 719 347 2;
  • 37) 0,180 221 719 347 2 × 2 = 0 + 0,360 443 438 694 4;
  • 38) 0,360 443 438 694 4 × 2 = 0 + 0,720 886 877 388 8;
  • 39) 0,720 886 877 388 8 × 2 = 1 + 0,441 773 754 777 6;
  • 40) 0,441 773 754 777 6 × 2 = 0 + 0,883 547 509 555 2;
  • 41) 0,883 547 509 555 2 × 2 = 1 + 0,767 095 019 110 4;
  • 42) 0,767 095 019 110 4 × 2 = 1 + 0,534 190 038 220 8;
  • 43) 0,534 190 038 220 8 × 2 = 1 + 0,068 380 076 441 6;
  • 44) 0,068 380 076 441 6 × 2 = 0 + 0,136 760 152 883 2;
  • 45) 0,136 760 152 883 2 × 2 = 0 + 0,273 520 305 766 4;
  • 46) 0,273 520 305 766 4 × 2 = 0 + 0,547 040 611 532 8;
  • 47) 0,547 040 611 532 8 × 2 = 1 + 0,094 081 223 065 6;
  • 48) 0,094 081 223 065 6 × 2 = 0 + 0,188 162 446 131 2;
  • 49) 0,188 162 446 131 2 × 2 = 0 + 0,376 324 892 262 4;
  • 50) 0,376 324 892 262 4 × 2 = 0 + 0,752 649 784 524 8;
  • 51) 0,752 649 784 524 8 × 2 = 1 + 0,505 299 569 049 6;
  • 52) 0,505 299 569 049 6 × 2 = 1 + 0,010 599 138 099 2;
  • 53) 0,010 599 138 099 2 × 2 = 0 + 0,021 198 276 198 4;
  • 54) 0,021 198 276 198 4 × 2 = 0 + 0,042 396 552 396 8;
  • 55) 0,042 396 552 396 8 × 2 = 0 + 0,084 793 104 793 6;
  • 56) 0,084 793 104 793 6 × 2 = 0 + 0,169 586 209 587 2;
  • 57) 0,169 586 209 587 2 × 2 = 0 + 0,339 172 419 174 4;
  • 58) 0,339 172 419 174 4 × 2 = 0 + 0,678 344 838 348 8;
  • 59) 0,678 344 838 348 8 × 2 = 1 + 0,356 689 676 697 6;
  • 60) 0,356 689 676 697 6 × 2 = 0 + 0,713 379 353 395 2;
  • 61) 0,713 379 353 395 2 × 2 = 1 + 0,426 758 706 790 4;
  • 62) 0,426 758 706 790 4 × 2 = 0 + 0,853 517 413 580 8;
  • 63) 0,853 517 413 580 8 × 2 = 1 + 0,707 034 827 161 6;
  • 64) 0,707 034 827 161 6 × 2 = 1 + 0,414 069 654 323 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 875 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 875 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 875 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 875 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0010 1110 0010 0011 0000 0010 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 883 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100