-0,000 282 005 879 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 879 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 879 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 879 2| = 0,000 282 005 879 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 879 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 879 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 758 4;
  • 2) 0,000 564 011 758 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 516 8;
  • 3) 0,001 128 023 516 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 033 6;
  • 4) 0,002 256 047 033 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 067 2;
  • 5) 0,004 512 094 067 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 134 4;
  • 6) 0,009 024 188 134 4 × 2 = 0 + 0,018 048 376 268 8;
  • 7) 0,018 048 376 268 8 × 2 = 0 + 0,036 096 752 537 6;
  • 8) 0,036 096 752 537 6 × 2 = 0 + 0,072 193 505 075 2;
  • 9) 0,072 193 505 075 2 × 2 = 0 + 0,144 387 010 150 4;
  • 10) 0,144 387 010 150 4 × 2 = 0 + 0,288 774 020 300 8;
  • 11) 0,288 774 020 300 8 × 2 = 0 + 0,577 548 040 601 6;
  • 12) 0,577 548 040 601 6 × 2 = 1 + 0,155 096 081 203 2;
  • 13) 0,155 096 081 203 2 × 2 = 0 + 0,310 192 162 406 4;
  • 14) 0,310 192 162 406 4 × 2 = 0 + 0,620 384 324 812 8;
  • 15) 0,620 384 324 812 8 × 2 = 1 + 0,240 768 649 625 6;
  • 16) 0,240 768 649 625 6 × 2 = 0 + 0,481 537 299 251 2;
  • 17) 0,481 537 299 251 2 × 2 = 0 + 0,963 074 598 502 4;
  • 18) 0,963 074 598 502 4 × 2 = 1 + 0,926 149 197 004 8;
  • 19) 0,926 149 197 004 8 × 2 = 1 + 0,852 298 394 009 6;
  • 20) 0,852 298 394 009 6 × 2 = 1 + 0,704 596 788 019 2;
  • 21) 0,704 596 788 019 2 × 2 = 1 + 0,409 193 576 038 4;
  • 22) 0,409 193 576 038 4 × 2 = 0 + 0,818 387 152 076 8;
  • 23) 0,818 387 152 076 8 × 2 = 1 + 0,636 774 304 153 6;
  • 24) 0,636 774 304 153 6 × 2 = 1 + 0,273 548 608 307 2;
  • 25) 0,273 548 608 307 2 × 2 = 0 + 0,547 097 216 614 4;
  • 26) 0,547 097 216 614 4 × 2 = 1 + 0,094 194 433 228 8;
  • 27) 0,094 194 433 228 8 × 2 = 0 + 0,188 388 866 457 6;
  • 28) 0,188 388 866 457 6 × 2 = 0 + 0,376 777 732 915 2;
  • 29) 0,376 777 732 915 2 × 2 = 0 + 0,753 555 465 830 4;
  • 30) 0,753 555 465 830 4 × 2 = 1 + 0,507 110 931 660 8;
  • 31) 0,507 110 931 660 8 × 2 = 1 + 0,014 221 863 321 6;
  • 32) 0,014 221 863 321 6 × 2 = 0 + 0,028 443 726 643 2;
  • 33) 0,028 443 726 643 2 × 2 = 0 + 0,056 887 453 286 4;
  • 34) 0,056 887 453 286 4 × 2 = 0 + 0,113 774 906 572 8;
  • 35) 0,113 774 906 572 8 × 2 = 0 + 0,227 549 813 145 6;
  • 36) 0,227 549 813 145 6 × 2 = 0 + 0,455 099 626 291 2;
  • 37) 0,455 099 626 291 2 × 2 = 0 + 0,910 199 252 582 4;
  • 38) 0,910 199 252 582 4 × 2 = 1 + 0,820 398 505 164 8;
  • 39) 0,820 398 505 164 8 × 2 = 1 + 0,640 797 010 329 6;
  • 40) 0,640 797 010 329 6 × 2 = 1 + 0,281 594 020 659 2;
  • 41) 0,281 594 020 659 2 × 2 = 0 + 0,563 188 041 318 4;
  • 42) 0,563 188 041 318 4 × 2 = 1 + 0,126 376 082 636 8;
  • 43) 0,126 376 082 636 8 × 2 = 0 + 0,252 752 165 273 6;
  • 44) 0,252 752 165 273 6 × 2 = 0 + 0,505 504 330 547 2;
  • 45) 0,505 504 330 547 2 × 2 = 1 + 0,011 008 661 094 4;
  • 46) 0,011 008 661 094 4 × 2 = 0 + 0,022 017 322 188 8;
  • 47) 0,022 017 322 188 8 × 2 = 0 + 0,044 034 644 377 6;
  • 48) 0,044 034 644 377 6 × 2 = 0 + 0,088 069 288 755 2;
  • 49) 0,088 069 288 755 2 × 2 = 0 + 0,176 138 577 510 4;
  • 50) 0,176 138 577 510 4 × 2 = 0 + 0,352 277 155 020 8;
  • 51) 0,352 277 155 020 8 × 2 = 0 + 0,704 554 310 041 6;
  • 52) 0,704 554 310 041 6 × 2 = 1 + 0,409 108 620 083 2;
  • 53) 0,409 108 620 083 2 × 2 = 0 + 0,818 217 240 166 4;
  • 54) 0,818 217 240 166 4 × 2 = 1 + 0,636 434 480 332 8;
  • 55) 0,636 434 480 332 8 × 2 = 1 + 0,272 868 960 665 6;
  • 56) 0,272 868 960 665 6 × 2 = 0 + 0,545 737 921 331 2;
  • 57) 0,545 737 921 331 2 × 2 = 1 + 0,091 475 842 662 4;
  • 58) 0,091 475 842 662 4 × 2 = 0 + 0,182 951 685 324 8;
  • 59) 0,182 951 685 324 8 × 2 = 0 + 0,365 903 370 649 6;
  • 60) 0,365 903 370 649 6 × 2 = 0 + 0,731 806 741 299 2;
  • 61) 0,731 806 741 299 2 × 2 = 1 + 0,463 613 482 598 4;
  • 62) 0,463 613 482 598 4 × 2 = 0 + 0,927 226 965 196 8;
  • 63) 0,927 226 965 196 8 × 2 = 1 + 0,854 453 930 393 6;
  • 64) 0,854 453 930 393 6 × 2 = 1 + 0,708 907 860 787 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 879 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 879 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 879 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 879 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 0111 0100 1000 0001 0110 1000 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 887 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100