-0,000 282 005 880 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 880 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 880 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 880 7| = 0,000 282 005 880 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 880 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 880 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 761 4;
  • 2) 0,000 564 011 761 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 522 8;
  • 3) 0,001 128 023 522 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 045 6;
  • 4) 0,002 256 047 045 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 091 2;
  • 5) 0,004 512 094 091 2 × 2 = 0 + 0,009 024 188 182 4;
  • 6) 0,009 024 188 182 4 × 2 = 0 + 0,018 048 376 364 8;
  • 7) 0,018 048 376 364 8 × 2 = 0 + 0,036 096 752 729 6;
  • 8) 0,036 096 752 729 6 × 2 = 0 + 0,072 193 505 459 2;
  • 9) 0,072 193 505 459 2 × 2 = 0 + 0,144 387 010 918 4;
  • 10) 0,144 387 010 918 4 × 2 = 0 + 0,288 774 021 836 8;
  • 11) 0,288 774 021 836 8 × 2 = 0 + 0,577 548 043 673 6;
  • 12) 0,577 548 043 673 6 × 2 = 1 + 0,155 096 087 347 2;
  • 13) 0,155 096 087 347 2 × 2 = 0 + 0,310 192 174 694 4;
  • 14) 0,310 192 174 694 4 × 2 = 0 + 0,620 384 349 388 8;
  • 15) 0,620 384 349 388 8 × 2 = 1 + 0,240 768 698 777 6;
  • 16) 0,240 768 698 777 6 × 2 = 0 + 0,481 537 397 555 2;
  • 17) 0,481 537 397 555 2 × 2 = 0 + 0,963 074 795 110 4;
  • 18) 0,963 074 795 110 4 × 2 = 1 + 0,926 149 590 220 8;
  • 19) 0,926 149 590 220 8 × 2 = 1 + 0,852 299 180 441 6;
  • 20) 0,852 299 180 441 6 × 2 = 1 + 0,704 598 360 883 2;
  • 21) 0,704 598 360 883 2 × 2 = 1 + 0,409 196 721 766 4;
  • 22) 0,409 196 721 766 4 × 2 = 0 + 0,818 393 443 532 8;
  • 23) 0,818 393 443 532 8 × 2 = 1 + 0,636 786 887 065 6;
  • 24) 0,636 786 887 065 6 × 2 = 1 + 0,273 573 774 131 2;
  • 25) 0,273 573 774 131 2 × 2 = 0 + 0,547 147 548 262 4;
  • 26) 0,547 147 548 262 4 × 2 = 1 + 0,094 295 096 524 8;
  • 27) 0,094 295 096 524 8 × 2 = 0 + 0,188 590 193 049 6;
  • 28) 0,188 590 193 049 6 × 2 = 0 + 0,377 180 386 099 2;
  • 29) 0,377 180 386 099 2 × 2 = 0 + 0,754 360 772 198 4;
  • 30) 0,754 360 772 198 4 × 2 = 1 + 0,508 721 544 396 8;
  • 31) 0,508 721 544 396 8 × 2 = 1 + 0,017 443 088 793 6;
  • 32) 0,017 443 088 793 6 × 2 = 0 + 0,034 886 177 587 2;
  • 33) 0,034 886 177 587 2 × 2 = 0 + 0,069 772 355 174 4;
  • 34) 0,069 772 355 174 4 × 2 = 0 + 0,139 544 710 348 8;
  • 35) 0,139 544 710 348 8 × 2 = 0 + 0,279 089 420 697 6;
  • 36) 0,279 089 420 697 6 × 2 = 0 + 0,558 178 841 395 2;
  • 37) 0,558 178 841 395 2 × 2 = 1 + 0,116 357 682 790 4;
  • 38) 0,116 357 682 790 4 × 2 = 0 + 0,232 715 365 580 8;
  • 39) 0,232 715 365 580 8 × 2 = 0 + 0,465 430 731 161 6;
  • 40) 0,465 430 731 161 6 × 2 = 0 + 0,930 861 462 323 2;
  • 41) 0,930 861 462 323 2 × 2 = 1 + 0,861 722 924 646 4;
  • 42) 0,861 722 924 646 4 × 2 = 1 + 0,723 445 849 292 8;
  • 43) 0,723 445 849 292 8 × 2 = 1 + 0,446 891 698 585 6;
  • 44) 0,446 891 698 585 6 × 2 = 0 + 0,893 783 397 171 2;
  • 45) 0,893 783 397 171 2 × 2 = 1 + 0,787 566 794 342 4;
  • 46) 0,787 566 794 342 4 × 2 = 1 + 0,575 133 588 684 8;
  • 47) 0,575 133 588 684 8 × 2 = 1 + 0,150 267 177 369 6;
  • 48) 0,150 267 177 369 6 × 2 = 0 + 0,300 534 354 739 2;
  • 49) 0,300 534 354 739 2 × 2 = 0 + 0,601 068 709 478 4;
  • 50) 0,601 068 709 478 4 × 2 = 1 + 0,202 137 418 956 8;
  • 51) 0,202 137 418 956 8 × 2 = 0 + 0,404 274 837 913 6;
  • 52) 0,404 274 837 913 6 × 2 = 0 + 0,808 549 675 827 2;
  • 53) 0,808 549 675 827 2 × 2 = 1 + 0,617 099 351 654 4;
  • 54) 0,617 099 351 654 4 × 2 = 1 + 0,234 198 703 308 8;
  • 55) 0,234 198 703 308 8 × 2 = 0 + 0,468 397 406 617 6;
  • 56) 0,468 397 406 617 6 × 2 = 0 + 0,936 794 813 235 2;
  • 57) 0,936 794 813 235 2 × 2 = 1 + 0,873 589 626 470 4;
  • 58) 0,873 589 626 470 4 × 2 = 1 + 0,747 179 252 940 8;
  • 59) 0,747 179 252 940 8 × 2 = 1 + 0,494 358 505 881 6;
  • 60) 0,494 358 505 881 6 × 2 = 0 + 0,988 717 011 763 2;
  • 61) 0,988 717 011 763 2 × 2 = 1 + 0,977 434 023 526 4;
  • 62) 0,977 434 023 526 4 × 2 = 1 + 0,954 868 047 052 8;
  • 63) 0,954 868 047 052 8 × 2 = 1 + 0,909 736 094 105 6;
  • 64) 0,909 736 094 105 6 × 2 = 1 + 0,819 472 188 211 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 880 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 880 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 880 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 880 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0000 1000 1110 1110 0100 1100 1110 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 872 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100